Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71282 / 62910
↖ ↑ ↗
← N  7.193551°
E 15.781861°		 ← 302.96 m → N  7.193551°
E 15.784607°		 →
↑
303 m
↓
↑
303 m
↓
N  7.190826°
E 15.781861°		 ← 302.96 m →
91 798 m²		 N  7.190826°
E 15.784607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543842315673828 y=0.479969024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543842315673828 × 217)
    floor (0.543842315673828 × 131072)
    floor (71282.5)     		tx = 71282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479969024658203 × 217)
    floor (0.479969024658203 × 131072)
    floor (62910.5)     		ty = 62910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71282 / 62910 ti = "17/71282/62910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71282/62910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71282 ÷ 217
    71282 ÷ 131072     		x = 0.543838500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62910 ÷ 217
    62910 ÷ 131072     		y = 0.479965209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543838500976562 × 2 - 1) × π
    0.087677001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27544543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479965209960938 × 2 - 1) × π
    0.040069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.125882298402267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27544543} λ = 0.27544543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125882298402267))-π/2
    2×atan(1.13414866931621)-π/2
    2×0.848173736843668-π/2
    1.69634747368734-1.57079632675     		φ = 0.12555115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27544543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.781861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12555115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.193551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71282 KachelY 62910 0.27544543 0.12555115 15.781861 7.193551
    Oben rechts KachelX + 1 71283 KachelY 62910 0.27549336 0.12555115 15.784607 7.193551
    Unten links KachelX 71282 KachelY + 1 62911 0.27544543 0.12550359 15.781861 7.190826
    Unten rechts KachelX + 1 71283 KachelY + 1 62911 0.27549336 0.12550359 15.784607 7.190826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12555115-0.12550359) × R
    4.7560000000002e-05 × 6371000     		dl = 303.004760000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12555115-0.12550359) × R
    4.7560000000002e-05 × 6371000     		dr = 303.004760000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27544543-0.27549336) × cos(0.12555115) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.992128802055388 × 6371000     		do = 302.958465017287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27544543-0.27549336) × cos(0.12550359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.992134756470903 × 6371000     		du = 302.960283269696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12555115)-sin(0.12550359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992128802055388-0.992134756470903)×R²
    abs(0.27549336-0.27544543)×5.95441551476394e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.95441551476394e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.95441551476394e-06×40589641000000     		ar = 91798.1324694103m²