Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7128 / 1108
↖ ↑ ↗
← N 78.455425°
E133.242187°		 ← 977.94 m → N 78.455425°
E133.286133°		 →
↑
978.33 m
↓
↑
978.33 m
↓
N 78.446627°
E133.242187°		 ← 978.67 m →
957 104 m²		 N 78.446627°
E133.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87017822265625 y=0.13531494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87017822265625 × 213)
    floor (0.87017822265625 × 8192)
    floor (7128.5)     		tx = 7128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13531494140625 × 213)
    floor (0.13531494140625 × 8192)
    floor (1108.5)     		ty = 1108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7128 / 1108 ti = "13/7128/1108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7128/1108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7128 ÷ 213
    7128 ÷ 8192     		x = 0.8701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1108 ÷ 213
    1108 ÷ 8192     		y = 0.13525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8701171875 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32551487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13525390625 × 2 - 1) × π
    0.7294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29176729703564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32551487} λ = 2.32551487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29176729703564))-π/2
    2×atan(9.8924050597411)-π/2
    2×1.47005090751903-π/2
    2.94010181503807-1.57079632675     		φ = 1.36930549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32551487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36930549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.455425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7128 KachelY 1108 2.32551487 1.36930549 133.242187 78.455425
    Oben rechts KachelX + 1 7129 KachelY 1108 2.32628186 1.36930549 133.286133 78.455425
    Unten links KachelX 7128 KachelY + 1 1109 2.32551487 1.36915193 133.242187 78.446627
    Unten rechts KachelX + 1 7129 KachelY + 1 1109 2.32628186 1.36915193 133.286133 78.446627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36930549-1.36915193) × R
    0.000153559999999997 × 6371000     		dl = 978.330759999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36930549-1.36915193) × R
    0.000153559999999997 × 6371000     		dr = 978.330759999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32551487-2.32628186) × cos(1.36930549) × R
    0.000766989999999801 × 0.200130228788885 × 6371000     		do = 977.935020102795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32551487-2.32628186) × cos(1.36915193) × R
    0.000766989999999801 × 0.200280679803206 × 6371000     		du = 978.670197974749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36930549)-sin(1.36915193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200130228788885-0.200280679803206)×R²
    abs(2.32628186-2.32551487)×0.000150451014321262×R²
    0.000766989999999801×0.000150451014321262×6371000²
    0.000766989999999801×0.000150451014321262×40589641000000     		ar = 957103.536893744m²