Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71278 / 62888
↖ ↑ ↗
← N  7.253496°
E 15.770874°		 ← 302.92 m → N  7.253496°
E 15.773620°		 →
↑
303 m
↓
↑
303 m
↓
N  7.250771°
E 15.770874°		 ← 302.92 m →
91 786 m²		 N  7.250771°
E 15.773620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543811798095703 y=0.479801177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543811798095703 × 217)
    floor (0.543811798095703 × 131072)
    floor (71278.5)     		tx = 71278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479801177978516 × 217)
    floor (0.479801177978516 × 131072)
    floor (62888.5)     		ty = 62888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71278 / 62888 ti = "17/71278/62888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71278/62888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71278 ÷ 217
    71278 ÷ 131072     		x = 0.543807983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62888 ÷ 217
    62888 ÷ 131072     		y = 0.47979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543807983398438 × 2 - 1) × π
    0.087615966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27525368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47979736328125 × 2 - 1) × π
    0.0404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.126936910193909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27525368} λ = 0.27525368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.126936910193909))-π/2
    2×atan(1.13534538680162)-π/2
    2×0.848696857572707-π/2
    1.69739371514541-1.57079632675     		φ = 0.12659739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27525368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.770874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12659739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.253496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71278 KachelY 62888 0.27525368 0.12659739 15.770874 7.253496
    Oben rechts KachelX + 1 71279 KachelY 62888 0.27530161 0.12659739 15.773620 7.253496
    Unten links KachelX 71278 KachelY + 1 62889 0.27525368 0.12654983 15.770874 7.250771
    Unten rechts KachelX + 1 71279 KachelY + 1 62889 0.27530161 0.12654983 15.773620 7.250771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12659739-0.12654983) × R
    4.7560000000002e-05 × 6371000     		dl = 303.004760000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12659739-0.12654983) × R
    4.7560000000002e-05 × 6371000     		dr = 303.004760000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27525368-0.27530161) × cos(0.12659739) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.991997247268955 × 6371000     		do = 302.918293180295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27525368-0.27530161) × cos(0.12654983) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.992003251048861 × 6371000     		du = 302.920126506714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12659739)-sin(0.12654983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991997247268955-0.992003251048861)×R²
    abs(0.27530161-0.27525368)×6.00377990522816e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.00377990522816e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.00377990522816e-06×40589641000000     		ar = 91785.9624952831m²