Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71277 / 62690
↖ ↑ ↗
← N  7.792636°
E 15.768127°		 ← 302.61 m → N  7.792636°
E 15.770874°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
N  7.789915°
E 15.768127°		 ← 302.61 m →
91 575 m²		 N  7.789915°
E 15.770874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543804168701172 y=0.478290557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543804168701172 × 217)
    floor (0.543804168701172 × 131072)
    floor (71277.5)     		tx = 71277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478290557861328 × 217)
    floor (0.478290557861328 × 131072)
    floor (62690.5)     		ty = 62690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71277 / 62690 ti = "17/71277/62690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71277/62690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71277 ÷ 217
    71277 ÷ 131072     		x = 0.543800354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62690 ÷ 217
    62690 ÷ 131072     		y = 0.478286743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543800354003906 × 2 - 1) × π
    0.0876007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27520574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478286743164062 × 2 - 1) × π
    0.043426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.13642841631868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27520574} λ = 0.27520574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.13642841631868))-π/2
    2×atan(1.14617282756865)-π/2
    2×0.853401742339366-π/2
    1.70680348467873-1.57079632675     		φ = 0.13600716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27520574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.768127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13600716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.792636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71277 KachelY 62690 0.27520574 0.13600716 15.768127 7.792636
    Oben rechts KachelX + 1 71278 KachelY 62690 0.27525368 0.13600716 15.770874 7.792636
    Unten links KachelX 71277 KachelY + 1 62691 0.27520574 0.13595966 15.768127 7.789915
    Unten rechts KachelX + 1 71278 KachelY + 1 62691 0.27525368 0.13595966 15.770874 7.789915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13600716-0.13595966) × R
    4.74999999999781e-05 × 6371000     		dl = 302.622499999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13600716-0.13595966) × R
    4.74999999999781e-05 × 6371000     		dr = 302.622499999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27520574-0.27525368) × cos(0.13600716) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990765274678955 × 6371000     		do = 302.605217185275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27520574-0.27525368) × cos(0.13595966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990771714002586 × 6371000     		du = 302.60718392046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13600716)-sin(0.13595966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990765274678955-0.990771714002586)×R²
    abs(0.27525368-0.27520574)×6.43932363164623e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.43932363164623e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.43932363164623e-06×40589641000000     		ar = 91575.4449439883m²