Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7127 / 9234
↖ ↑ ↗
← N 78.041519°
W140.850220°		 ← 126.57 m → N 78.041519°
W140.844726°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 78.040381°
W140.850220°		 ← 126.58 m →
16 023 m²		 N 78.040381°
W140.844726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108757019042969 y=0.140907287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108757019042969 × 216)
    floor (0.108757019042969 × 65536)
    floor (7127.5)     		tx = 7127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140907287597656 × 216)
    floor (0.140907287597656 × 65536)
    floor (9234.5)     		ty = 9234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7127 / 9234 ti = "16/7127/9234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7127/9234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7127 ÷ 216
    7127 ÷ 65536     		x = 0.108749389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9234 ÷ 216
    9234 ÷ 65536     		y = 0.140899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108749389648438 × 2 - 1) × π
    -0.782501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45830009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140899658203125 × 2 - 1) × π
    0.71820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2562939913168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45830009} λ = -2.45830009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2562939913168))-π/2
    2×atan(9.54763988334975)-π/2
    2×1.46643889231023-π/2
    2.93287778462047-1.57079632675     		φ = 1.36208146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45830009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.850220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36208146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.041519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7127 KachelY 9234 -2.45830009 1.36208146 -140.850220 78.041519
    Oben rechts KachelX + 1 7128 KachelY 9234 -2.45820421 1.36208146 -140.844726 78.041519
    Unten links KachelX 7127 KachelY + 1 9235 -2.45830009 1.36206159 -140.850220 78.040381
    Unten rechts KachelX + 1 7128 KachelY + 1 9235 -2.45820421 1.36206159 -140.844726 78.040381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36208146-1.36206159) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36208146-1.36206159) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45830009--2.45820421) × cos(1.36208146) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207202828045187 × 6371000     		do = 126.570154171505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45830009--2.45820421) × cos(1.36206159) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207222266785656 × 6371000     		du = 126.58202835489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36208146)-sin(1.36206159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207202828045187-0.207222266785656)×R²
    abs(-2.45820421--2.45830009)×1.9438740469363e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9438740469363e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9438740469363e-05×40589641000000     		ar = 16023.4914332434m²