Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7127 / 9209
↖ ↑ ↗
← N 78.069941°
W140.850220°		 ← 126.27 m → N 78.069941°
W140.844726°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
N 78.068805°
W140.850220°		 ← 126.29 m →
15 946 m²		 N 78.068805°
W140.844726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108757019042969 y=0.140525817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108757019042969 × 216)
    floor (0.108757019042969 × 65536)
    floor (7127.5)     		tx = 7127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140525817871094 × 216)
    floor (0.140525817871094 × 65536)
    floor (9209.5)     		ty = 9209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7127 / 9209 ti = "16/7127/9209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7127/9209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7127 ÷ 216
    7127 ÷ 65536     		x = 0.108749389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9209 ÷ 216
    9209 ÷ 65536     		y = 0.140518188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108749389648438 × 2 - 1) × π
    -0.782501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45830009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140518188476562 × 2 - 1) × π
    0.718963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25869083629781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45830009} λ = -2.45830009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25869083629781))-π/2
    2×atan(9.57055154296405)-π/2
    2×1.46668691792938-π/2
    2.93337383585877-1.57079632675     		φ = 1.36257751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45830009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.850220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36257751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.069941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7127 KachelY 9209 -2.45830009 1.36257751 -140.850220 78.069941
    Oben rechts KachelX + 1 7128 KachelY 9209 -2.45820421 1.36257751 -140.844726 78.069941
    Unten links KachelX 7127 KachelY + 1 9210 -2.45830009 1.36255769 -140.850220 78.068805
    Unten rechts KachelX + 1 7128 KachelY + 1 9210 -2.45820421 1.36255769 -140.844726 78.068805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36257751-1.36255769) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dl = 126.273219999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36257751-1.36255769) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dr = 126.273219999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45830009--2.45820421) × cos(1.36257751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206717517846594 × 6371000     		do = 126.273701718435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45830009--2.45820421) × cos(1.36255769) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206736909707236 × 6371000     		du = 126.285547265209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36257751)-sin(1.36255769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206717517846594-0.206736909707236)×R²
    abs(-2.45820421--2.45830009)×1.9391860642537e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9391860642537e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9391860642537e-05×40589641000000     		ar = 15945.7348052902m²