Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7127 / 1109
↖ ↑ ↗
← N 78.446627°
E133.198242°		 ← 978.67 m → N 78.446627°
E133.242187°		 →
↑
979.03 m
↓
↑
979.03 m
↓
N 78.437822°
E133.198242°		 ← 979.41 m →
958 509 m²		 N 78.437822°
E133.242187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87005615234375 y=0.13543701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87005615234375 × 213)
    floor (0.87005615234375 × 8192)
    floor (7127.5)     		tx = 7127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13543701171875 × 213)
    floor (0.13543701171875 × 8192)
    floor (1109.5)     		ty = 1109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7127 / 1109 ti = "13/7127/1109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7127/1109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7127 ÷ 213
    7127 ÷ 8192     		x = 0.8699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1109 ÷ 213
    1109 ÷ 8192     		y = 0.1353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8699951171875 × 2 - 1) × π
    0.739990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32474788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1353759765625 × 2 - 1) × π
    0.729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29100030664172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32474788} λ = 2.32474788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29100030664172))-π/2
    2×atan(9.88482058906739)-π/2
    2×1.46997412969252-π/2
    2.93994825938505-1.57079632675     		φ = 1.36915193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32474788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36915193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.446627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7127 KachelY 1109 2.32474788 1.36915193 133.198242 78.446627
    Oben rechts KachelX + 1 7128 KachelY 1109 2.32551487 1.36915193 133.242187 78.446627
    Unten links KachelX 7127 KachelY + 1 1110 2.32474788 1.36899826 133.198242 78.437822
    Unten rechts KachelX + 1 7128 KachelY + 1 1110 2.32551487 1.36899826 133.242187 78.437822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36915193-1.36899826) × R
    0.000153669999999995 × 6371000     		dl = 979.031569999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36915193-1.36899826) × R
    0.000153669999999995 × 6371000     		dr = 979.031569999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32474788-2.32551487) × cos(1.36915193) × R
    0.000766990000000245 × 0.200280679803206 × 6371000     		do = 978.670197975316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32474788-2.32551487) × cos(1.36899826) × R
    0.000766990000000245 × 0.20043123386263 × 6371000     		du = 979.405879376475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36915193)-sin(1.36899826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200280679803206-0.20043123386263)×R²
    abs(2.32551487-2.32474788)×0.000150554059424157×R²
    0.000766990000000245×0.000150554059424157×6371000²
    0.000766990000000245×0.000150554059424157×40589641000000     		ar = 958509.149980849m²