Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7127 / 1095
↖ ↑ ↗
← N 78.569201°
E133.198242°		 ← 968.43 m → N 78.569201°
E133.242187°		 →
↑
968.84 m
↓
↑
968.84 m
↓
N 78.560488°
E133.198242°		 ← 969.15 m →
938 601 m²		 N 78.560488°
E133.242187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87005615234375 y=0.13372802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87005615234375 × 213)
    floor (0.87005615234375 × 8192)
    floor (7127.5)     		tx = 7127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13372802734375 × 213)
    floor (0.13372802734375 × 8192)
    floor (1095.5)     		ty = 1095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7127 / 1095 ti = "13/7127/1095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7127/1095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7127 ÷ 213
    7127 ÷ 8192     		x = 0.8699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1095 ÷ 213
    1095 ÷ 8192     		y = 0.1336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8699951171875 × 2 - 1) × π
    0.739990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32474788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1336669921875 × 2 - 1) × π
    0.732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30173817215662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32474788} λ = 2.32474788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30173817215662))-π/2
    2×atan(9.99153437698799)-π/2
    2×1.47104378594072-π/2
    2.94208757188143-1.57079632675     		φ = 1.37129125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32474788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37129125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.569201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7127 KachelY 1095 2.32474788 1.37129125 133.198242 78.569201
    Oben rechts KachelX + 1 7128 KachelY 1095 2.32551487 1.37129125 133.242187 78.569201
    Unten links KachelX 7127 KachelY + 1 1096 2.32474788 1.37113918 133.198242 78.560488
    Unten rechts KachelX + 1 7128 KachelY + 1 1096 2.32551487 1.37113918 133.242187 78.560488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37129125-1.37113918) × R
    0.000152070000000171 × 6371000     		dl = 968.837970001087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37129125-1.37113918) × R
    0.000152070000000171 × 6371000     		dr = 968.837970001087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32474788-2.32551487) × cos(1.37129125) × R
    0.000766990000000245 × 0.198184248791019 × 6371000     		do = 968.426001901316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32474788-2.32551487) × cos(1.37113918) × R
    0.000766990000000245 × 0.198333300157594 × 6371000     		du = 969.154340403948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37129125)-sin(1.37113918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198184248791019-0.198333300157594)×R²
    abs(2.32551487-2.32474788)×0.000149051366574587×R²
    0.000766990000000245×0.000149051366574587×6371000²
    0.000766990000000245×0.000149051366574587×40589641000000     		ar = 938600.704586566m²