Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71269 / 62877
↖ ↑ ↗
← N  7.283466°
E 15.746155°		 ← 302.90 m → N  7.283466°
E 15.748901°		 →
↑
302.94 m
↓
↑
302.94 m
↓
N  7.280741°
E 15.746155°		 ← 302.90 m →
91 761 m²		 N  7.280741°
E 15.748901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543743133544922 y=0.479717254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543743133544922 × 217)
    floor (0.543743133544922 × 131072)
    floor (71269.5)     		tx = 71269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479717254638672 × 217)
    floor (0.479717254638672 × 131072)
    floor (62877.5)     		ty = 62877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71269 / 62877 ti = "17/71269/62877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71269/62877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71269 ÷ 217
    71269 ÷ 131072     		x = 0.543739318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62877 ÷ 217
    62877 ÷ 131072     		y = 0.479713439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543739318847656 × 2 - 1) × π
    0.0874786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27482225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479713439941406 × 2 - 1) × π
    0.0405731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.127464216089729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27482225} λ = 0.27482225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127464216089729))-π/2
    2×atan(1.13594421898787)-π/2
    2×0.848958391853167-π/2
    1.69791678370633-1.57079632675     		φ = 0.12712046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27482225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.746155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12712046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.283466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71269 KachelY 62877 0.27482225 0.12712046 15.746155 7.283466
    Oben rechts KachelX + 1 71270 KachelY 62877 0.27487018 0.12712046 15.748901 7.283466
    Unten links KachelX 71269 KachelY + 1 62878 0.27482225 0.12707291 15.746155 7.280741
    Unten rechts KachelX + 1 71270 KachelY + 1 62878 0.27487018 0.12707291 15.748901 7.280741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12712046-0.12707291) × R
    4.75499999999796e-05 × 6371000     		dl = 302.94104999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12712046-0.12707291) × R
    4.75499999999796e-05 × 6371000     		dr = 302.94104999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27482225-0.27487018) × cos(0.12712046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.991931069008832 × 6371000     		do = 302.898084852792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27482225-0.27487018) × cos(0.12707291) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.9919370961988 × 6371000     		du = 302.899925327756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12712046)-sin(0.12707291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991931069008832-0.9919370961988)×R²
    abs(0.27487018-0.27482225)×6.02718996844942e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.02718996844942e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.02718996844942e-06×40589641000000     		ar = 91760.5426632628m²