Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71268 / 62753
↖ ↑ ↗
← N  7.621164°
E 15.743408°		 ← 302.73 m → N  7.621164°
E 15.746155°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
N  7.618442°
E 15.743408°		 ← 302.73 m →
91 632 m²		 N  7.618442°
E 15.746155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543735504150391 y=0.478771209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543735504150391 × 217)
    floor (0.543735504150391 × 131072)
    floor (71268.5)     		tx = 71268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478771209716797 × 217)
    floor (0.478771209716797 × 131072)
    floor (62753.5)     		ty = 62753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71268 / 62753 ti = "17/71268/62753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71268/62753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71268 ÷ 217
    71268 ÷ 131072     		x = 0.543731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62753 ÷ 217
    62753 ÷ 131072     		y = 0.478767395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543731689453125 × 2 - 1) × π
    0.08746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27477431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478767395019531 × 2 - 1) × π
    0.0424652099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.133408391642616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27477431} λ = 0.27477431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133408391642616))-π/2
    2×atan(1.14271657895132)-π/2
    2×0.851905370436966-π/2
    1.70381074087393-1.57079632675     		φ = 0.13301441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27477431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.743408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13301441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.621164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71268 KachelY 62753 0.27477431 0.13301441 15.743408 7.621164
    Oben rechts KachelX + 1 71269 KachelY 62753 0.27482225 0.13301441 15.746155 7.621164
    Unten links KachelX 71268 KachelY + 1 62754 0.27477431 0.13296690 15.743408 7.618442
    Unten rechts KachelX + 1 71269 KachelY + 1 62754 0.27482225 0.13296690 15.746155 7.618442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13301441-0.13296690) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13301441-0.13296690) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27477431-0.27482225) × cos(0.13301441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.991166618857455 × 6371000     		do = 302.727798027638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27477431-0.27482225) × cos(0.13296690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.991172918634899 × 6371000     		du = 302.729722141825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13301441)-sin(0.13296690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991166618857455-0.991172918634899)×R²
    abs(0.27482225-0.27477431)×6.29977744459609e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.29977744459609e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.29977744459609e-06×40589641000000     		ar = 91631.8210652838m²