Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71267 / 62754
↖ ↑ ↗
← N  7.618442°
E 15.740662°		 ← 302.73 m → N  7.618442°
E 15.743408°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
N  7.615720°
E 15.740662°		 ← 302.73 m →
91 632 m²		 N  7.615720°
E 15.743408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543727874755859 y=0.478778839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543727874755859 × 217)
    floor (0.543727874755859 × 131072)
    floor (71267.5)     		tx = 71267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478778839111328 × 217)
    floor (0.478778839111328 × 131072)
    floor (62754.5)     		ty = 62754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71267 / 62754 ti = "17/71267/62754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71267/62754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71267 ÷ 217
    71267 ÷ 131072     		x = 0.543724060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62754 ÷ 217
    62754 ÷ 131072     		y = 0.478775024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543724060058594 × 2 - 1) × π
    0.0874481201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27472637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478775024414062 × 2 - 1) × π
    0.042449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.133360454742996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27472637} λ = 0.27472637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133360454742996))-π/2
    2×atan(1.14266180197431)-π/2
    2×0.851881613634114-π/2
    1.70376322726823-1.57079632675     		φ = 0.13296690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27472637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.740662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13296690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.618442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71267 KachelY 62754 0.27472637 0.13296690 15.740662 7.618442
    Oben rechts KachelX + 1 71268 KachelY 62754 0.27477431 0.13296690 15.743408 7.618442
    Unten links KachelX 71267 KachelY + 1 62755 0.27472637 0.13291939 15.740662 7.615720
    Unten rechts KachelX + 1 71268 KachelY + 1 62755 0.27477431 0.13291939 15.743408 7.615720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13296690-0.13291939) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13296690-0.13291939) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27472637-0.27477431) × cos(0.13296690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991172918634899 × 6371000     		do = 302.729722142176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27472637-0.27477431) × cos(0.13291939) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991179216175068 × 6371000     		du = 302.731645573042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13296690)-sin(0.13291939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991172918634899-0.991179216175068)×R²
    abs(0.27477431-0.27472637)×6.2975401691201e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.2975401691201e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.2975401691201e-06×40589641000000     		ar = 91632.4033648286m²