Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71264 / 95844
↖ ↑ ↗
← S 63.670633°
E 15.732422°		 ← 135.47 m → S 63.670633°
E 15.735169°		 →
↑
135.45 m
↓
↑
135.45 m
↓
S 63.671852°
E 15.732422°		 ← 135.46 m →
18 348 m²		 S 63.671852°
E 15.735169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543704986572266 y=0.731235504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543704986572266 × 217)
    floor (0.543704986572266 × 131072)
    floor (71264.5)     		tx = 71264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731235504150391 × 217)
    floor (0.731235504150391 × 131072)
    floor (95844.5)     		ty = 95844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71264 / 95844 ti = "17/71264/95844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71264/95844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71264 ÷ 217
    71264 ÷ 131072     		x = 0.543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95844 ÷ 217
    95844 ÷ 131072     		y = 0.731231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543701171875 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.46246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45287155368466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27458256} λ = 0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45287155368466))-π/2
    2×atan(0.233897673105922)-π/2
    2×0.22976706744704-π/2
    0.45953413489408-1.57079632675     		φ = -1.11126219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11126219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.670633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71264 KachelY 95844 0.27458256 -1.11126219 15.732422 -63.670633
    Oben rechts KachelX + 1 71265 KachelY 95844 0.27463050 -1.11126219 15.735169 -63.670633
    Unten links KachelX 71264 KachelY + 1 95845 0.27458256 -1.11128345 15.732422 -63.671852
    Unten rechts KachelX + 1 71265 KachelY + 1 95845 0.27463050 -1.11128345 15.735169 -63.671852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11126219--1.11128345) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dl = 135.447460000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11126219--1.11128345) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dr = 135.447460000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27458256-0.27463050) × cos(-1.11126219) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44353062091748 × 6371000     		do = 135.465668106449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27458256-0.27463050) × cos(-1.11128345) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443511566346243 × 6371000     		du = 135.459848349928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11126219)-sin(-1.11128345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44353062091748-0.443511566346243)×R²
    abs(0.27463050-0.27458256)×1.90545712376311e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90545712376311e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90545712376311e-05×40589641000000     		ar = 18348.0865272233m²