Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71263 / 95842
↖ ↑ ↗
← S 63.668197°
E 15.729675°		 ← 135.48 m → S 63.668197°
E 15.732422°		 →
↑
135.45 m
↓
↑
135.45 m
↓
S 63.669415°
E 15.729675°		 ← 135.47 m →
18 350 m²		 S 63.669415°
E 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543697357177734 y=0.731220245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543697357177734 × 217)
    floor (0.543697357177734 × 131072)
    floor (71263.5)     		tx = 71263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731220245361328 × 217)
    floor (0.731220245361328 × 131072)
    floor (95842.5)     		ty = 95842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71263 / 95842 ti = "17/71263/95842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71263/95842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71263 ÷ 217
    71263 ÷ 131072     		x = 0.543693542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95842 ÷ 217
    95842 ÷ 131072     		y = 0.731216430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543693542480469 × 2 - 1) × π
    0.0873870849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27453462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731216430664062 × 2 - 1) × π
    -0.462432861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45277567988542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27453462} λ = 0.27453462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45277567988542))-π/2
    2×atan(0.233920098839479)-π/2
    2×0.229788329843308-π/2
    0.459576659686615-1.57079632675     		φ = -1.11121967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27453462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.729675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11121967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.668197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71263 KachelY 95842 0.27453462 -1.11121967 15.729675 -63.668197
    Oben rechts KachelX + 1 71264 KachelY 95842 0.27458256 -1.11121967 15.732422 -63.668197
    Unten links KachelX 71263 KachelY + 1 95843 0.27453462 -1.11124093 15.729675 -63.669415
    Unten rechts KachelX + 1 71264 KachelY + 1 95843 0.27458256 -1.11124093 15.732422 -63.669415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11121967--1.11124093) × R
    2.12599999998009e-05 × 6371000     		dl = 135.447459998731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11121967--1.11124093) × R
    2.12599999998009e-05 × 6371000     		dr = 135.447459998731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27453462-0.27458256) × cos(-1.11121967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.443568729458536 × 6371000     		do = 135.477307435644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27453462-0.27458256) × cos(-1.11124093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.443549675288248 × 6371000     		du = 135.471487801584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11121967)-sin(-1.11124093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443568729458536-0.443549675288248)×R²
    abs(0.27458256-0.27453462)×1.90541702881353e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90541702881353e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90541702881353e-05×40589641000000     		ar = 18349.6630530099m²