Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7126 / 9255
↖ ↑ ↗
← N 78.017593°
W140.855713°		 ← 126.81 m → N 78.017593°
W140.850220°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 78.016453°
W140.855713°		 ← 126.82 m →
16 078 m²		 N 78.016453°
W140.850220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108741760253906 y=0.141227722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108741760253906 × 216)
    floor (0.108741760253906 × 65536)
    floor (7126.5)     		tx = 7126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141227722167969 × 216)
    floor (0.141227722167969 × 65536)
    floor (9255.5)     		ty = 9255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7126 / 9255 ti = "16/7126/9255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7126/9255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7126 ÷ 216
    7126 ÷ 65536     		x = 0.108734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9255 ÷ 216
    9255 ÷ 65536     		y = 0.141220092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.78253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45839596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141220092773438 × 2 - 1) × π
    0.717559814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25428064153276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45839596} λ = -2.45839596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25428064153276))-π/2
    2×atan(9.52843648272062)-π/2
    2×1.46623010087344-π/2
    2.93246020174688-1.57079632675     		φ = 1.36166387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45839596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.855713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36166387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.017593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7126 KachelY 9255 -2.45839596 1.36166387 -140.855713 78.017593
    Oben rechts KachelX + 1 7127 KachelY 9255 -2.45830009 1.36166387 -140.850220 78.017593
    Unten links KachelX 7126 KachelY + 1 9256 -2.45839596 1.36164397 -140.855713 78.016453
    Unten rechts KachelX + 1 7127 KachelY + 1 9256 -2.45830009 1.36164397 -140.850220 78.016453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36166387-1.36164397) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36166387-1.36164397) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45839596--2.45830009) × cos(1.36166387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207611337431373 × 6371000     		do = 126.806465816423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45839596--2.45830009) × cos(1.36164397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207630803797017 × 6371000     		du = 126.818355634485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36166387)-sin(1.36164397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207611337431373-0.207630803797017)×R²
    abs(-2.45830009--2.45839596)×1.94663656437055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94663656437055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94663656437055e-05×40589641000000     		ar = 16077.6451882637m²