Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71259 / 95987
↖ ↑ ↗
← S 63.844301°
E 15.718689°		 ← 134.61 m → S 63.844301°
E 15.721435°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
S 63.845512°
E 15.718689°		 ← 134.60 m →
18 120 m²		 S 63.845512°
E 15.721435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543666839599609 y=0.732326507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543666839599609 × 217)
    floor (0.543666839599609 × 131072)
    floor (71259.5)     		tx = 71259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732326507568359 × 217)
    floor (0.732326507568359 × 131072)
    floor (95987.5)     		ty = 95987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71259 / 95987 ti = "17/71259/95987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71259/95987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71259 ÷ 217
    71259 ÷ 131072     		x = 0.543663024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95987 ÷ 217
    95987 ÷ 131072     		y = 0.732322692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543663024902344 × 2 - 1) × π
    0.0873260498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27434288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732322692871094 × 2 - 1) × π
    -0.464645385742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.45972653033033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27434288} λ = 0.27434288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45972653033033))-π/2
    2×atan(0.232299792991858)-π/2
    2×0.228251534121528-π/2
    0.456503068243057-1.57079632675     		φ = -1.11429326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27434288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.718689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11429326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.844301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71259 KachelY 95987 0.27434288 -1.11429326 15.718689 -63.844301
    Oben rechts KachelX + 1 71260 KachelY 95987 0.27439081 -1.11429326 15.721435 -63.844301
    Unten links KachelX 71259 KachelY + 1 95988 0.27434288 -1.11431439 15.718689 -63.845512
    Unten rechts KachelX + 1 71260 KachelY + 1 95988 0.27439081 -1.11431439 15.721435 -63.845512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11429326--1.11431439) × R
    2.11300000001469e-05 × 6371000     		dl = 134.619230000936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11429326--1.11431439) × R
    2.11300000001469e-05 × 6371000     		dr = 134.619230000936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27434288-0.27439081) × cos(-1.11429326) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.440811963203394 × 6371000     		do = 134.607235932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27434288-0.27439081) × cos(-1.11431439) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.440792996828134 × 6371000     		du = 134.601444321149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11429326)-sin(-1.11431439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440811963203394-0.440792996828134)×R²
    abs(0.27439081-0.27434288)×1.89663752595548e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89663752595548e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89663752595548e-05×40589641000000     		ar = 18120.33262331m²