Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71257 / 62745
↖ ↑ ↗
← N  7.642942°
E 15.713196°		 ← 302.71 m → N  7.642942°
E 15.715942°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
N  7.640220°
E 15.713196°		 ← 302.71 m →
91 627 m²		 N  7.640220°
E 15.715942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543651580810547 y=0.478710174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543651580810547 × 217)
    floor (0.543651580810547 × 131072)
    floor (71257.5)     		tx = 71257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478710174560547 × 217)
    floor (0.478710174560547 × 131072)
    floor (62745.5)     		ty = 62745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71257 / 62745 ti = "17/71257/62745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71257/62745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71257 ÷ 217
    71257 ÷ 131072     		x = 0.543647766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62745 ÷ 217
    62745 ÷ 131072     		y = 0.478706359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543647766113281 × 2 - 1) × π
    0.0872955322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27424700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478706359863281 × 2 - 1) × π
    0.0425872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.133791886839577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27424700} λ = 0.27424700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133791886839577))-π/2
    2×atan(1.14315488931042)-π/2
    2×0.852095419418149-π/2
    1.7041908388363-1.57079632675     		φ = 0.13339451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27424700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.713196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13339451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.642942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71257 KachelY 62745 0.27424700 0.13339451 15.713196 7.642942
    Oben rechts KachelX + 1 71258 KachelY 62745 0.27429494 0.13339451 15.715942 7.642942
    Unten links KachelX 71257 KachelY + 1 62746 0.27424700 0.13334700 15.713196 7.640220
    Unten rechts KachelX + 1 71258 KachelY + 1 62746 0.27429494 0.13334700 15.715942 7.640220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13339451-0.13334700) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13339451-0.13334700) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27424700-0.27429494) × cos(0.13339451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.991116137437698 × 6371000     		do = 302.712379702652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27424700-0.27429494) × cos(0.13334700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.991122455113777 × 6371000     		du = 302.714309283544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13339451)-sin(0.13334700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991116137437698-0.991122455113777)×R²
    abs(0.27429494-0.27424700)×6.31767607894851e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.31767607894851e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.31767607894851e-06×40589641000000     		ar = 91627.1549782918m²