Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71256 / 62744
↖ ↑ ↗
← N  7.645665°
E 15.710449°		 ← 302.65 m → N  7.645665°
E 15.713196°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
N  7.642942°
E 15.710449°		 ← 302.65 m →
91 607 m²		 N  7.642942°
E 15.713196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543643951416016 y=0.478702545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543643951416016 × 217)
    floor (0.543643951416016 × 131072)
    floor (71256.5)     		tx = 71256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478702545166016 × 217)
    floor (0.478702545166016 × 131072)
    floor (62744.5)     		ty = 62744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71256 / 62744 ti = "17/71256/62744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71256/62744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71256 ÷ 217
    71256 ÷ 131072     		x = 0.54364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62744 ÷ 217
    62744 ÷ 131072     		y = 0.47869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54364013671875 × 2 - 1) × π
    0.0872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27419907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47869873046875 × 2 - 1) × π
    0.0426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.133839823739197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27419907} λ = 0.27419907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133839823739197))-π/2
    2×atan(1.14320968992508)-π/2
    2×0.852119174859803-π/2
    1.70423834971961-1.57079632675     		φ = 0.13344202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27419907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.710449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13344202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71256 KachelY 62744 0.27419907 0.13344202 15.710449 7.645665
    Oben rechts KachelX + 1 71257 KachelY 62744 0.27424700 0.13344202 15.713196 7.645665
    Unten links KachelX 71256 KachelY + 1 62745 0.27419907 0.13339451 15.710449 7.642942
    Unten rechts KachelX + 1 71257 KachelY + 1 62745 0.27424700 0.13339451 15.713196 7.642942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13344202-0.13339451) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13344202-0.13339451) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27419907-0.27424700) × cos(0.13344202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.991109817524472 × 6371000     		do = 302.647305832387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27419907-0.27424700) × cos(0.13339451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.991116137437698 × 6371000     		du = 302.64923569392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13344202)-sin(0.13339451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991109817524472-0.991116137437698)×R²
    abs(0.27424700-0.27419907)×6.31991322641579e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.31991322641579e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.31991322641579e-06×40589641000000     		ar = 91607.4580575823m²