Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71250 / 95990
↖ ↑ ↗
← S 63.847933°
E 15.693969°		 ← 134.62 m → S 63.847933°
E 15.696716°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
S 63.849144°
E 15.693969°		 ← 134.61 m →
18 122 m²		 S 63.849144°
E 15.696716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543598175048828 y=0.732349395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543598175048828 × 217)
    floor (0.543598175048828 × 131072)
    floor (71250.5)     		tx = 71250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732349395751953 × 217)
    floor (0.732349395751953 × 131072)
    floor (95990.5)     		ty = 95990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71250 / 95990 ti = "17/71250/95990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71250/95990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71250 ÷ 217
    71250 ÷ 131072     		x = 0.543594360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95990 ÷ 217
    95990 ÷ 131072     		y = 0.732345581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543594360351562 × 2 - 1) × π
    0.087188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27391144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732345581054688 × 2 - 1) × π
    -0.464691162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45987034102919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27391144} λ = 0.27391144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45987034102919))-π/2
    2×atan(0.232266388198324)-π/2
    2×0.228219839428898-π/2
    0.456439678857797-1.57079632675     		φ = -1.11435665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27391144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.693969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11435665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.847933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71250 KachelY 95990 0.27391144 -1.11435665 15.693969 -63.847933
    Oben rechts KachelX + 1 71251 KachelY 95990 0.27395938 -1.11435665 15.696716 -63.847933
    Unten links KachelX 71250 KachelY + 1 95991 0.27391144 -1.11437778 15.693969 -63.849144
    Unten rechts KachelX + 1 71251 KachelY + 1 95991 0.27395938 -1.11437778 15.696716 -63.849144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11435665--1.11437778) × R
    2.11300000001469e-05 × 6371000     		dl = 134.619230000936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11435665--1.11437778) × R
    2.11300000001469e-05 × 6371000     		dr = 134.619230000936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27391144-0.27395938) × cos(-1.11435665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.440755063487212 × 6371000     		do = 134.61794142424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27391144-0.27395938) × cos(-1.11437778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.440736096521566 × 6371000     		du = 134.612148424723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11435665)-sin(-1.11437778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440755063487212-0.440736096521566)×R²
    abs(0.27395938-0.27391144)×1.89669656458502e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89669656458502e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89669656458502e-05×40589641000000     		ar = 18121.7736951361m²