Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7124 / 9244
↖ ↑ ↗
← N 78.030131°
W140.866699°		 ← 126.69 m → N 78.030131°
W140.861206°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 78.028992°
W140.866699°		 ← 126.70 m →
16 047 m²		 N 78.028992°
W140.861206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108711242675781 y=0.141059875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108711242675781 × 216)
    floor (0.108711242675781 × 65536)
    floor (7124.5)     		tx = 7124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141059875488281 × 216)
    floor (0.141059875488281 × 65536)
    floor (9244.5)     		ty = 9244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7124 / 9244 ti = "16/7124/9244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7124/9244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7124 ÷ 216
    7124 ÷ 65536     		x = 0.10870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9244 ÷ 216
    9244 ÷ 65536     		y = 0.14105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10870361328125 × 2 - 1) × π
    -0.7825927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45858771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14105224609375 × 2 - 1) × π
    0.7178955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2553352533244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45858771} λ = -2.45858771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2553352533244))-π/2
    2×atan(9.53849058484667)-π/2
    2×1.46633951910283-π/2
    2.93267903820566-1.57079632675     		φ = 1.36188271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45858771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.866699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36188271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.030131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7124 KachelY 9244 -2.45858771 1.36188271 -140.866699 78.030131
    Oben rechts KachelX + 1 7125 KachelY 9244 -2.45849183 1.36188271 -140.861206 78.030131
    Unten links KachelX 7124 KachelY + 1 9245 -2.45858771 1.36186283 -140.866699 78.028992
    Unten rechts KachelX + 1 7125 KachelY + 1 9245 -2.45849183 1.36186283 -140.861206 78.028992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36188271-1.36186283) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36188271-1.36186283) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45858771--2.45849183) × cos(1.36188271) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.207397260680131 × 6371000     		do = 126.688923634908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45858771--2.45849183) × cos(1.36186283) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.207416708384428 × 6371000     		du = 126.70080329386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36188271)-sin(1.36186283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207397260680131-0.207416708384428)×R²
    abs(-2.45849183--2.45858771)×1.94477042961827e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.94477042961827e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.94477042961827e-05×40589641000000     		ar = 16046.5987461502m²