Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7124 / 5604
↖ ↑ ↗
← N 49.325122°
W 23.466797°		 ← 1 592.40 m → N 49.325122°
W 23.444824°		 →
↑
1 592.62 m
↓
↑
1 592.62 m
↓
N 49.310799°
W 23.466797°		 ← 1 592.87 m →
2 536 468 m²		 N 49.310799°
W 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434844970703125 y=0.342071533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434844970703125 × 214)
    floor (0.434844970703125 × 16384)
    floor (7124.5)     		tx = 7124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342071533203125 × 214)
    floor (0.342071533203125 × 16384)
    floor (5604.5)     		ty = 5604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7124 / 5604 ti = "14/7124/5604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7124/5604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7124 ÷ 214
    7124 ÷ 16384     		x = 0.434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5604 ÷ 214
    5604 ÷ 16384     		y = 0.342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342041015625 × 2 - 1) × π
    0.31591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.992485569733643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40957287} λ = -0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992485569733643))-π/2
    2×atan(2.69793204349177)-π/2
    2×1.21584105473396-π/2
    2.43168210946792-1.57079632675     		φ = 0.86088578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86088578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.325122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7124 KachelY 5604 -0.40957287 0.86088578 -23.466797 49.325122
    Oben rechts KachelX + 1 7125 KachelY 5604 -0.40918938 0.86088578 -23.444824 49.325122
    Unten links KachelX 7124 KachelY + 1 5605 -0.40957287 0.86063580 -23.466797 49.310799
    Unten rechts KachelX + 1 7125 KachelY + 1 5605 -0.40918938 0.86063580 -23.444824 49.310799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86088578-0.86063580) × R
    0.000249980000000094 × 6371000     		dl = 1592.6225800006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86088578-0.86063580) × R
    0.000249980000000094 × 6371000     		dr = 1592.6225800006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40957287--0.40918938) × cos(0.86088578) × R
    0.000383489999999986 × 0.651765930513245 × 6371000     		do = 1592.40416104802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40957287--0.40918938) × cos(0.86063580) × R
    0.000383489999999986 × 0.651955500023835 × 6371000     		du = 1592.86732008002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86088578)-sin(0.86063580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651765930513245-0.651955500023835)×R²
    abs(-0.40918938--0.40957287)×0.00018956951058946×R²
    0.000383489999999986×0.00018956951058946×6371000²
    0.000383489999999986×0.00018956951058946×40589641000000     		ar = 2536467.65534641m²