Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7124 / 3628
↖ ↑ ↗
← N 70.289116°
W 23.466797°		 ← 824.03 m → N 70.289116°
W 23.444824°		 →
↑
824.15 m
↓
↑
824.15 m
↓
N 70.281705°
W 23.466797°		 ← 824.33 m →
679 252 m²		 N 70.281705°
W 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434844970703125 y=0.221466064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434844970703125 × 214)
    floor (0.434844970703125 × 16384)
    floor (7124.5)     		tx = 7124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221466064453125 × 214)
    floor (0.221466064453125 × 16384)
    floor (3628.5)     		ty = 3628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7124 / 3628 ti = "14/7124/3628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7124/3628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7124 ÷ 214
    7124 ÷ 16384     		x = 0.434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3628 ÷ 214
    3628 ÷ 16384     		y = 0.221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221435546875 × 2 - 1) × π
    0.55712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.75027207892749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40957287} λ = -0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75027207892749))-π/2
    2×atan(5.75616859514709)-π/2
    2×1.39878642026104-π/2
    2.79757284052207-1.57079632675     		φ = 1.22677651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22677651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.289116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7124 KachelY 3628 -0.40957287 1.22677651 -23.466797 70.289116
    Oben rechts KachelX + 1 7125 KachelY 3628 -0.40918938 1.22677651 -23.444824 70.289116
    Unten links KachelX 7124 KachelY + 1 3629 -0.40957287 1.22664715 -23.466797 70.281705
    Unten rechts KachelX + 1 7125 KachelY + 1 3629 -0.40918938 1.22664715 -23.444824 70.281705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22677651-1.22664715) × R
    0.000129360000000078 × 6371000     		dl = 824.152560000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22677651-1.22664715) × R
    0.000129360000000078 × 6371000     		dr = 824.152560000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40957287--0.40918938) × cos(1.22677651) × R
    0.000383489999999986 × 0.337274088579359 × 6371000     		do = 824.03304150083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40957287--0.40918938) × cos(1.22664715) × R
    0.000383489999999986 × 0.337395866101262 × 6371000     		du = 824.330570143434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22677651)-sin(1.22664715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337274088579359-0.337395866101262)×R²
    abs(-0.40918938--0.40957287)×0.000121777521903399×R²
    0.000383489999999986×0.000121777521903399×6371000²
    0.000383489999999986×0.000121777521903399×40589641000000     		ar = 679251.546121543m²