Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71237 / 95943
↖ ↑ ↗
← S 63.790979°
E 15.658264°		 ← 134.89 m → S 63.790979°
E 15.661011°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
S 63.792192°
E 15.658264°		 ← 134.88 m →
18 193 m²		 S 63.792192°
E 15.661011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543498992919922 y=0.731990814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543498992919922 × 217)
    floor (0.543498992919922 × 131072)
    floor (71237.5)     		tx = 71237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731990814208984 × 217)
    floor (0.731990814208984 × 131072)
    floor (95943.5)     		ty = 95943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71237 / 95943 ti = "17/71237/95943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71237/95943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71237 ÷ 217
    71237 ÷ 131072     		x = 0.543495178222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95943 ÷ 217
    95943 ÷ 131072     		y = 0.731986999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543495178222656 × 2 - 1) × π
    0.0869903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27328826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731986999511719 × 2 - 1) × π
    -0.463973999023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.45761730674705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27328826} λ = 0.27328826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45761730674705))-π/2
    2×atan(0.232790282287581)-π/2
    2×0.228716859897338-π/2
    0.457433719794677-1.57079632675     		φ = -1.11336261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27328826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.658264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11336261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.790979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71237 KachelY 95943 0.27328826 -1.11336261 15.658264 -63.790979
    Oben rechts KachelX + 1 71238 KachelY 95943 0.27333620 -1.11336261 15.661011 -63.790979
    Unten links KachelX 71237 KachelY + 1 95944 0.27328826 -1.11338378 15.658264 -63.792192
    Unten rechts KachelX + 1 71238 KachelY + 1 95944 0.27333620 -1.11338378 15.661011 -63.792192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11336261--1.11338378) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dl = 134.874069999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11336261--1.11338378) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dr = 134.874069999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27328826-0.27333620) × cos(-1.11336261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441647123136241 × 6371000     		do = 134.890399402669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27328826-0.27333620) × cos(-1.11338378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441628129549486 × 6371000     		du = 134.884598272379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11336261)-sin(-1.11338378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441647123136241-0.441628129549486)×R²
    abs(0.27333620-0.27328826)×1.89935867547786e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89935867547786e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89935867547786e-05×40589641000000     		ar = 18192.8259607935m²