Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71235 / 95945
↖ ↑ ↗
← S 63.793405°
E 15.652771°		 ← 134.88 m → S 63.793405°
E 15.655518°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
S 63.794617°
E 15.652771°		 ← 134.87 m →
18 191 m²		 S 63.794617°
E 15.655518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543483734130859 y=0.732006072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543483734130859 × 217)
    floor (0.543483734130859 × 131072)
    floor (71235.5)     		tx = 71235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732006072998047 × 217)
    floor (0.732006072998047 × 131072)
    floor (95945.5)     		ty = 95945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71235 / 95945 ti = "17/71235/95945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71235/95945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71235 ÷ 217
    71235 ÷ 131072     		x = 0.543479919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95945 ÷ 217
    95945 ÷ 131072     		y = 0.732002258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543479919433594 × 2 - 1) × π
    0.0869598388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27319239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732002258300781 × 2 - 1) × π
    -0.464004516601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.45771318054629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27319239} λ = 0.27319239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45771318054629))-π/2
    2×atan(0.232767964868637)-π/2
    2×0.228695689613921-π/2
    0.457391379227841-1.57079632675     		φ = -1.11340495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27319239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.652771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11340495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.793405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71235 KachelY 95945 0.27319239 -1.11340495 15.652771 -63.793405
    Oben rechts KachelX + 1 71236 KachelY 95945 0.27324033 -1.11340495 15.655518 -63.793405
    Unten links KachelX 71235 KachelY + 1 95946 0.27319239 -1.11342612 15.652771 -63.794617
    Unten rechts KachelX + 1 71236 KachelY + 1 95946 0.27324033 -1.11342612 15.655518 -63.794617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11340495--1.11342612) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dl = 134.874069999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11340495--1.11342612) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dr = 134.874069999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27319239-0.27324033) × cos(-1.11340495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441609135764807 × 6371000     		do = 134.878797081638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27319239-0.27324033) × cos(-1.11342612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441590141782213 × 6371000     		du = 134.872995830449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11340495)-sin(-1.11342612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441609135764807-0.441590141782213)×R²
    abs(0.27324033-0.27319239)×1.89939825942509e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89939825942509e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89939825942509e-05×40589641000000     		ar = 18191.2611006422m²