Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71234 / 95935
↖ ↑ ↗
← S 63.781273°
E 15.650024°		 ← 134.94 m → S 63.781273°
E 15.652771°		 →
↑
134.94 m
↓
↑
134.94 m
↓
S 63.782486°
E 15.650024°		 ← 134.93 m →
18 208 m²		 S 63.782486°
E 15.652771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543476104736328 y=0.731929779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543476104736328 × 217)
    floor (0.543476104736328 × 131072)
    floor (71234.5)     		tx = 71234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731929779052734 × 217)
    floor (0.731929779052734 × 131072)
    floor (95935.5)     		ty = 95935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71234 / 95935 ti = "17/71234/95935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71234/95935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71234 ÷ 217
    71234 ÷ 131072     		x = 0.543472290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95935 ÷ 217
    95935 ÷ 131072     		y = 0.731925964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543472290039062 × 2 - 1) × π
    0.086944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27314445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731925964355469 × 2 - 1) × π
    -0.463851928710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.45723381155009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27314445} λ = 0.27314445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45723381155009))-π/2
    2×atan(0.232879573362992)-π/2
    2×0.228801559243002-π/2
    0.457603118486004-1.57079632675     		φ = -1.11319321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27314445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.650024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11319321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.781273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71234 KachelY 95935 0.27314445 -1.11319321 15.650024 -63.781273
    Oben rechts KachelX + 1 71235 KachelY 95935 0.27319239 -1.11319321 15.652771 -63.781273
    Unten links KachelX 71234 KachelY + 1 95936 0.27314445 -1.11321439 15.650024 -63.782486
    Unten rechts KachelX + 1 71235 KachelY + 1 95936 0.27319239 -1.11321439 15.652771 -63.782486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11319321--1.11321439) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dl = 134.937780000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11319321--1.11321439) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dr = 134.937780000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27314445-0.27319239) × cos(-1.11319321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441799100588556 × 6371000     		do = 134.936817228662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27314445-0.27319239) × cos(-1.11321439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44178009961464 × 6371000     		du = 134.931013842143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11319321)-sin(-1.11321439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441799100588556-0.44178009961464)×R²
    abs(0.27319239-0.27314445)×1.90009739161057e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90009739161057e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90009739161057e-05×40589641000000     		ar = 18207.6830097551m²