Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71233 / 95944
↖ ↑ ↗
← S 63.792192°
E 15.647278°		 ← 134.86 m → S 63.792192°
E 15.650024°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
S 63.793405°
E 15.647278°		 ← 134.85 m →
18 188 m²		 S 63.793405°
E 15.650024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543468475341797 y=0.731998443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543468475341797 × 217)
    floor (0.543468475341797 × 131072)
    floor (71233.5)     		tx = 71233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731998443603516 × 217)
    floor (0.731998443603516 × 131072)
    floor (95944.5)     		ty = 95944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71233 / 95944 ti = "17/71233/95944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71233/95944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71233 ÷ 217
    71233 ÷ 131072     		x = 0.543464660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95944 ÷ 217
    95944 ÷ 131072     		y = 0.73199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543464660644531 × 2 - 1) × π
    0.0869293212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27309652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4639892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45766524364667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27309652} λ = 0.27309652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45766524364667))-π/2
    2×atan(0.232779123310652)-π/2
    2×0.228706274528002-π/2
    0.457412549056004-1.57079632675     		φ = -1.11338378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27309652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.647278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11338378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.792192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71233 KachelY 95944 0.27309652 -1.11338378 15.647278 -63.792192
    Oben rechts KachelX + 1 71234 KachelY 95944 0.27314445 -1.11338378 15.650024 -63.792192
    Unten links KachelX 71233 KachelY + 1 95945 0.27309652 -1.11340495 15.647278 -63.793405
    Unten rechts KachelX + 1 71234 KachelY + 1 95945 0.27314445 -1.11340495 15.650024 -63.793405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11338378--1.11340495) × R
    2.11700000001258e-05 × 6371000     		dl = 134.874070000802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11338378--1.11340495) × R
    2.11700000001258e-05 × 6371000     		dr = 134.874070000802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27309652-0.27314445) × cos(-1.11338378) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.441628129549486 × 6371000     		do = 134.85646214426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27309652-0.27314445) × cos(-1.11340495) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.441609135764807 × 6371000     		du = 134.850662163614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11338378)-sin(-1.11340495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441628129549486-0.441609135764807)×R²
    abs(0.27314445-0.27309652)×1.89937846790111e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89937846790111e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89937846790111e-05×40589641000000     		ar = 18188.2487825301m²