Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71230 / 95841
↖ ↑ ↗
← S 63.666979°
E 15.639038°		 ← 135.45 m → S 63.666979°
E 15.641784°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
S 63.668197°
E 15.639038°		 ← 135.45 m →
18 355 m²		 S 63.668197°
E 15.641784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543445587158203 y=0.731212615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543445587158203 × 217)
    floor (0.543445587158203 × 131072)
    floor (71230.5)     		tx = 71230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731212615966797 × 217)
    floor (0.731212615966797 × 131072)
    floor (95841.5)     		ty = 95841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71230 / 95841 ti = "17/71230/95841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71230/95841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71230 ÷ 217
    71230 ÷ 131072     		x = 0.543441772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95841 ÷ 217
    95841 ÷ 131072     		y = 0.731208801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543441772460938 × 2 - 1) × π
    0.086883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27295271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731208801269531 × 2 - 1) × π
    -0.462417602539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.4527277429858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27295271} λ = 0.27295271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4527277429858))-π/2
    2×atan(0.233931312512548)-π/2
    2×0.229798961726585-π/2
    0.459597923453171-1.57079632675     		φ = -1.11119840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27295271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.639038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11119840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.666979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71230 KachelY 95841 0.27295271 -1.11119840 15.639038 -63.666979
    Oben rechts KachelX + 1 71231 KachelY 95841 0.27300064 -1.11119840 15.641784 -63.666979
    Unten links KachelX 71230 KachelY + 1 95842 0.27295271 -1.11121967 15.639038 -63.668197
    Unten rechts KachelX + 1 71231 KachelY + 1 95842 0.27300064 -1.11121967 15.641784 -63.668197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11119840--1.11121967) × R
    2.12700000001842e-05 × 6371000     		dl = 135.511170001174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11119840--1.11121967) × R
    2.12700000001842e-05 × 6371000     		dr = 135.511170001174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27295271-0.27300064) × cos(-1.11119840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443587792390646 × 6371000     		do = 135.454868767709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27295271-0.27300064) × cos(-1.11121967) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443568729458536 × 6371000     		du = 135.449047672062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11119840)-sin(-1.11121967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443587792390646-0.443568729458536)×R²
    abs(0.27300064-0.27295271)×1.90629321101254e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90629321101254e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90629321101254e-05×40589641000000     		ar = 18355.2533381324m²