Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71230 / 95836
↖ ↑ ↗
← S 63.660886°
E 15.639038°		 ← 135.48 m → S 63.660886°
E 15.641784°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
S 63.662105°
E 15.639038°		 ← 135.48 m →
18 359 m²		 S 63.662105°
E 15.641784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543445587158203 y=0.731174468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543445587158203 × 217)
    floor (0.543445587158203 × 131072)
    floor (71230.5)     		tx = 71230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731174468994141 × 217)
    floor (0.731174468994141 × 131072)
    floor (95836.5)     		ty = 95836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71230 / 95836 ti = "17/71230/95836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71230/95836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71230 ÷ 217
    71230 ÷ 131072     		x = 0.543441772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95836 ÷ 217
    95836 ÷ 131072     		y = 0.731170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543441772460938 × 2 - 1) × π
    0.086883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27295271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731170654296875 × 2 - 1) × π
    -0.46234130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4524880584877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27295271} λ = 0.27295271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4524880584877))-π/2
    2×atan(0.233987388941834)-π/2
    2×0.229852127995007-π/2
    0.459704255990014-1.57079632675     		φ = -1.11109207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27295271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.639038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11109207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.660886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71230 KachelY 95836 0.27295271 -1.11109207 15.639038 -63.660886
    Oben rechts KachelX + 1 71231 KachelY 95836 0.27300064 -1.11109207 15.641784 -63.660886
    Unten links KachelX 71230 KachelY + 1 95837 0.27295271 -1.11111334 15.639038 -63.662105
    Unten rechts KachelX + 1 71231 KachelY + 1 95837 0.27300064 -1.11111334 15.641784 -63.662105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11109207--1.11111334) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11109207--1.11111334) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27295271-0.27300064) × cos(-1.11109207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443683086117076 × 6371000     		do = 135.483967853458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27295271-0.27300064) × cos(-1.11111334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443664024188287 × 6371000     		du = 135.478147064187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11109207)-sin(-1.11111334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443683086117076-0.443664024188287)×R²
    abs(0.27300064-0.27295271)×1.90619287882554e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90619287882554e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90619287882554e-05×40589641000000     		ar = 18359.1966097635m²