Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7123 / 9144
↖ ↑ ↗
← N 78.143526°
W140.872192°		 ← 125.49 m → N 78.143526°
W140.866699°		 →
↑
125.51 m
↓
↑
125.51 m
↓
N 78.142397°
W140.872192°		 ← 125.50 m →
15 751 m²		 N 78.142397°
W140.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108695983886719 y=0.139533996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108695983886719 × 216)
    floor (0.108695983886719 × 65536)
    floor (7123.5)     		tx = 7123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139533996582031 × 216)
    floor (0.139533996582031 × 65536)
    floor (9144.5)     		ty = 9144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7123 / 9144 ti = "16/7123/9144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7123/9144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7123 ÷ 216
    7123 ÷ 65536     		x = 0.108688354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9144 ÷ 216
    9144 ÷ 65536     		y = 0.1395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108688354492188 × 2 - 1) × π
    -0.782623291015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45868358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1395263671875 × 2 - 1) × π
    0.720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26492263324841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45868358} λ = -2.45868358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26492263324841))-π/2
    2×atan(9.63037950110912)-π/2
    2×1.46732906890457-π/2
    2.93465813780914-1.57079632675     		φ = 1.36386181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45868358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.872192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36386181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.143526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7123 KachelY 9144 -2.45868358 1.36386181 -140.872192 78.143526
    Oben rechts KachelX + 1 7124 KachelY 9144 -2.45858771 1.36386181 -140.866699 78.143526
    Unten links KachelX 7123 KachelY + 1 9145 -2.45868358 1.36384211 -140.872192 78.142397
    Unten rechts KachelX + 1 7124 KachelY + 1 9145 -2.45858771 1.36384211 -140.866699 78.142397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36386181-1.36384211) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dl = 125.508699999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36386181-1.36384211) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dr = 125.508699999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45868358--2.45858771) × cos(1.36386181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205460787731022 × 6371000     		do = 125.492936360672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45868358--2.45858771) × cos(1.36384211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205480067398521 × 6371000     		du = 125.50471214579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36386181)-sin(1.36384211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205460787731022-0.205480067398521)×R²
    abs(-2.45858771--2.45868358)×1.9279667499067e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9279667499067e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9279667499067e-05×40589641000000     		ar = 15751.1942839642m²