Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7123 / 1125
↖ ↑ ↗
← N 78.304955°
E133.022461°		 ← 990.50 m → N 78.304955°
E133.066406°		 →
↑
990.88 m
↓
↑
990.88 m
↓
N 78.296044°
E133.022461°		 ← 991.25 m →
981 842 m²		 N 78.296044°
E133.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86956787109375 y=0.13739013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86956787109375 × 213)
    floor (0.86956787109375 × 8192)
    floor (7123.5)     		tx = 7123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13739013671875 × 213)
    floor (0.13739013671875 × 8192)
    floor (1125.5)     		ty = 1125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7123 / 1125 ti = "13/7123/1125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7123/1125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7123 ÷ 213
    7123 ÷ 8192     		x = 0.8695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1125 ÷ 213
    1125 ÷ 8192     		y = 0.1373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8695068359375 × 2 - 1) × π
    0.739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32167992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1373291015625 × 2 - 1) × π
    0.725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27872846033899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32167992} λ = 2.32167992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27872846033899))-π/2
    2×atan(9.76425687281887)-π/2
    2×1.46873780670998-π/2
    2.93747561341997-1.57079632675     		φ = 1.36667929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32167992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36667929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.304955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7123 KachelY 1125 2.32167992 1.36667929 133.022461 78.304955
    Oben rechts KachelX + 1 7124 KachelY 1125 2.32244691 1.36667929 133.066406 78.304955
    Unten links KachelX 7123 KachelY + 1 1126 2.32167992 1.36652376 133.022461 78.296044
    Unten rechts KachelX + 1 7124 KachelY + 1 1126 2.32244691 1.36652376 133.066406 78.296044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36667929-1.36652376) × R
    0.000155530000000015 × 6371000     		dl = 990.881630000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36667929-1.36652376) × R
    0.000155530000000015 × 6371000     		dr = 990.881630000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32167992-2.32244691) × cos(1.36667929) × R
    0.000766990000000245 × 0.202702605839304 × 6371000     		do = 990.504923299589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32167992-2.32244691) × cos(1.36652376) × R
    0.000766990000000245 × 0.202854904637927 × 6371000     		du = 991.249130357135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36667929)-sin(1.36652376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202702605839304-0.202854904637927)×R²
    abs(2.32244691-2.32167992)×0.000152298798622941×R²
    0.000766990000000245×0.000152298798622941×6371000²
    0.000766990000000245×0.000152298798622941×40589641000000     		ar = 981841.845450883m²