Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7122 / 7179
↖ ↑ ↗
← N 70.572458°
W101.755371°		 ← 406.33 m → N 70.572458°
W101.744385°		 →
↑
406.34 m
↓
↑
406.34 m
↓
N 70.568803°
W101.755371°		 ← 406.41 m →
165 126 m²		 N 70.568803°
W101.744385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217361450195312 y=0.219100952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217361450195312 × 215)
    floor (0.217361450195312 × 32768)
    floor (7122.5)     		tx = 7122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219100952148438 × 215)
    floor (0.219100952148438 × 32768)
    floor (7179.5)     		ty = 7179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7122 / 7179 ti = "15/7122/7179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7122/7179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7122 ÷ 215
    7122 ÷ 32768     		x = 0.21734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7179 ÷ 215
    7179 ÷ 32768     		y = 0.219085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.5653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77596626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219085693359375 × 2 - 1) × π
    0.56182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76503664401047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77596626} λ = -1.77596626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76503664401047))-π/2
    2×atan(5.84178642064666)-π/2
    2×1.40125903883091-π/2
    2.80251807766181-1.57079632675     		φ = 1.23172175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77596626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.755371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23172175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.572458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7122 KachelY 7179 -1.77596626 1.23172175 -101.755371 70.572458
    Oben rechts KachelX + 1 7123 KachelY 7179 -1.77577451 1.23172175 -101.744385 70.572458
    Unten links KachelX 7122 KachelY + 1 7180 -1.77596626 1.23165797 -101.755371 70.568803
    Unten rechts KachelX + 1 7123 KachelY + 1 7180 -1.77577451 1.23165797 -101.744385 70.568803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23172175-1.23165797) × R
    6.37799999998467e-05 × 6371000     		dl = 406.342379999024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23172175-1.23165797) × R
    6.37799999998467e-05 × 6371000     		dr = 406.342379999024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77596626--1.77577451) × cos(1.23172175) × R
    0.000191749999999935 × 0.332614502420629 × 6371000     		do = 406.334931276122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77596626--1.77577451) × cos(1.23165797) × R
    0.000191749999999935 × 0.332674650294458 × 6371000     		du = 406.408410279597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23172175)-sin(1.23165797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332614502420629-0.332674650294458)×R²
    abs(-1.77577451--1.77596626)×6.01478738295746e-05×R²
    0.000191749999999935×6.01478738295746e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.01478738295746e-05×40589641000000     		ar = 165126.031923697m²