Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7122 / 5294
↖ ↑ ↗
← N 53.566414°
W 23.510742°		 ← 1 451 m → N 53.566414°
W 23.488770°		 →
↑
1 451.25 m
↓
↑
1 451.25 m
↓
N 53.553363°
W 23.510742°		 ← 1 451.45 m →
2 106 092 m²		 N 53.553363°
W 23.488770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434722900390625 y=0.323150634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434722900390625 × 214)
    floor (0.434722900390625 × 16384)
    floor (7122.5)     		tx = 7122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323150634765625 × 214)
    floor (0.323150634765625 × 16384)
    floor (5294.5)     		ty = 5294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7122 / 5294 ti = "14/7122/5294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7122/5294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7122 ÷ 214
    7122 ÷ 16384     		x = 0.4346923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5294 ÷ 214
    5294 ÷ 16384     		y = 0.3231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4346923828125 × 2 - 1) × π
    -0.130615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41033986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3231201171875 × 2 - 1) × π
    0.353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11136908079138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41033986} λ = -0.41033986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11136908079138))-π/2
    2×atan(3.0385155212996)-π/2
    2×1.25285331111421-π/2
    2.50570662222842-1.57079632675     		φ = 0.93491030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41033986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.510742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93491030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7122 KachelY 5294 -0.41033986 0.93491030 -23.510742 53.566414
    Oben rechts KachelX + 1 7123 KachelY 5294 -0.40995637 0.93491030 -23.488770 53.566414
    Unten links KachelX 7122 KachelY + 1 5295 -0.41033986 0.93468251 -23.510742 53.553363
    Unten rechts KachelX + 1 7123 KachelY + 1 5295 -0.40995637 0.93468251 -23.488770 53.553363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93491030-0.93468251) × R
    0.00022778999999995 × 6371000     		dl = 1451.25008999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93491030-0.93468251) × R
    0.00022778999999995 × 6371000     		dr = 1451.25008999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41033986--0.40995637) × cos(0.93491030) × R
    0.000383489999999986 × 0.593890596522316 × 6371000     		do = 1451.00228906519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41033986--0.40995637) × cos(0.93468251) × R
    0.000383489999999986 × 0.594073848602663 × 6371000     		du = 1451.4500132582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93491030)-sin(0.93468251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593890596522316-0.594073848602663)×R²
    abs(-0.40995637--0.41033986)×0.000183252080347751×R²
    0.000383489999999986×0.000183252080347751×6371000²
    0.000383489999999986×0.000183252080347751×40589641000000     		ar = 2106092.09158919m²