Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71218 / 95790
↖ ↑ ↗
← S 63.604775°
E 15.606079°		 ← 135.78 m → S 63.604775°
E 15.608826°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
S 63.605996°
E 15.606079°		 ← 135.77 m →
18 434 m²		 S 63.605996°
E 15.608826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543354034423828 y=0.730823516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543354034423828 × 217)
    floor (0.543354034423828 × 131072)
    floor (71218.5)     		tx = 71218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730823516845703 × 217)
    floor (0.730823516845703 × 131072)
    floor (95790.5)     		ty = 95790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71218 / 95790 ti = "17/71218/95790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71218/95790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71218 ÷ 217
    71218 ÷ 131072     		x = 0.543350219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95790 ÷ 217
    95790 ÷ 131072     		y = 0.730819702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543350219726562 × 2 - 1) × π
    0.086700439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27237746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730819702148438 × 2 - 1) × π
    -0.461639404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45028296110518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27237746} λ = 0.27237746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45028296110518))-π/2
    2×atan(0.234503923215619)-π/2
    2×0.230341793794664-π/2
    0.460683587589327-1.57079632675     		φ = -1.11011274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27237746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.606079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11011274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.604775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71218 KachelY 95790 0.27237746 -1.11011274 15.606079 -63.604775
    Oben rechts KachelX + 1 71219 KachelY 95790 0.27242540 -1.11011274 15.608826 -63.604775
    Unten links KachelX 71218 KachelY + 1 95791 0.27237746 -1.11013405 15.606079 -63.605996
    Unten rechts KachelX + 1 71219 KachelY + 1 95791 0.27242540 -1.11013405 15.608826 -63.605996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11011274--1.11013405) × R
    2.13100000001631e-05 × 6371000     		dl = 135.766010001039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11011274--1.11013405) × R
    2.13100000001631e-05 × 6371000     		dr = 135.766010001039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27237746-0.27242540) × cos(-1.11011274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444560532846205 × 6371000     		do = 135.780229719257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27237746-0.27242540) × cos(-1.11013405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4445414443381 × 6371000     		du = 135.774399597544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11011274)-sin(-1.11013405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444560532846205-0.4445414443381)×R²
    abs(0.27242540-0.27237746)×1.90885081048919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90885081048919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90885081048919e-05×40589641000000     		ar = 18433.9442604962m²