Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71217 / 95814
↖ ↑ ↗
← S 63.634064°
E 15.603333°		 ← 135.61 m → S 63.634064°
E 15.606079°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
S 63.635284°
E 15.603333°		 ← 135.61 m →
18 385 m²		 S 63.635284°
E 15.606079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543346405029297 y=0.731006622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543346405029297 × 217)
    floor (0.543346405029297 × 131072)
    floor (71217.5)     		tx = 71217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731006622314453 × 217)
    floor (0.731006622314453 × 131072)
    floor (95814.5)     		ty = 95814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71217 / 95814 ti = "17/71217/95814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71217/95814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71217 ÷ 217
    71217 ÷ 131072     		x = 0.543342590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95814 ÷ 217
    95814 ÷ 131072     		y = 0.731002807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543342590332031 × 2 - 1) × π
    0.0866851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27232953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731002807617188 × 2 - 1) × π
    -0.462005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45143344669606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27232953} λ = 0.27232953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45143344669606))-π/2
    2×atan(0.234234284968155)-π/2
    2×0.230086195287381-π/2
    0.460172390574763-1.57079632675     		φ = -1.11062394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27232953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.603333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11062394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.634064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71217 KachelY 95814 0.27232953 -1.11062394 15.603333 -63.634064
    Oben rechts KachelX + 1 71218 KachelY 95814 0.27237746 -1.11062394 15.606079 -63.634064
    Unten links KachelX 71217 KachelY + 1 95815 0.27232953 -1.11064522 15.603333 -63.635284
    Unten rechts KachelX + 1 71218 KachelY + 1 95815 0.27237746 -1.11064522 15.606079 -63.635284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11062394--1.11064522) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dl = 135.574880000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11062394--1.11064522) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dr = 135.574880000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27232953-0.27237746) × cos(-1.11062394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.444102567986413 × 6371000     		do = 135.612061688627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27232953-0.27237746) × cos(-1.11064522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.444083501517573 × 6371000     		du = 135.606239512997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11062394)-sin(-1.11064522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444102567986413-0.444083501517573)×R²
    abs(0.27237746-0.27232953)×1.90664688408115e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90664688408115e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90664688408115e-05×40589641000000     		ar = 18385.1943204293m²