Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71210 / 95815
↖ ↑ ↗
← S 63.635284°
E 15.584107°		 ← 135.63 m → S 63.635284°
E 15.586853°		 →
↑
135.64 m
↓
↑
135.64 m
↓
S 63.636503°
E 15.584107°		 ← 135.63 m →
18 397 m²		 S 63.636503°
E 15.586853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543292999267578 y=0.731014251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543292999267578 × 217)
    floor (0.543292999267578 × 131072)
    floor (71210.5)     		tx = 71210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731014251708984 × 217)
    floor (0.731014251708984 × 131072)
    floor (95815.5)     		ty = 95815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71210 / 95815 ti = "17/71210/95815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71210/95815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71210 ÷ 217
    71210 ÷ 131072     		x = 0.543289184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95815 ÷ 217
    95815 ÷ 131072     		y = 0.731010437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543289184570312 × 2 - 1) × π
    0.086578369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27199397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731010437011719 × 2 - 1) × π
    -0.462020874023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.45148138359568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27199397} λ = 0.27199397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45148138359568))-π/2
    2×atan(0.234223056771873)-π/2
    2×0.230075551065778-π/2
    0.460151102131555-1.57079632675     		φ = -1.11064522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27199397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.584107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11064522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.635284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71210 KachelY 95815 0.27199397 -1.11064522 15.584107 -63.635284
    Oben rechts KachelX + 1 71211 KachelY 95815 0.27204191 -1.11064522 15.586853 -63.635284
    Unten links KachelX 71210 KachelY + 1 95816 0.27199397 -1.11066651 15.584107 -63.636503
    Unten rechts KachelX + 1 71211 KachelY + 1 95816 0.27204191 -1.11066651 15.586853 -63.636503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11064522--1.11066651) × R
    2.12899999998406e-05 × 6371000     		dl = 135.638589998984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11064522--1.11066651) × R
    2.12899999998406e-05 × 6371000     		dr = 135.638589998984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27199397-0.27204191) × cos(-1.11064522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444083501517573 × 6371000     		do = 135.634532072864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27199397-0.27204191) × cos(-1.11066651) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444064425887685 × 6371000     		du = 135.62870588449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11064522)-sin(-1.11066651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444083501517573-0.444064425887685)×R²
    abs(0.27204191-0.27199397)×1.90756298871775e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90756298871775e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90756298871775e-05×40589641000000     		ar = 18396.8815583588m²