Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7121 / 3630
↖ ↑ ↗
← N 70.274289°
W 23.532715°		 ← 824.65 m → N 70.274289°
W 23.510742°		 →
↑
824.79 m
↓
↑
824.79 m
↓
N 70.266872°
W 23.532715°		 ← 824.95 m →
680 285 m²		 N 70.266872°
W 23.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434661865234375 y=0.221588134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434661865234375 × 214)
    floor (0.434661865234375 × 16384)
    floor (7121.5)     		tx = 7121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221588134765625 × 214)
    floor (0.221588134765625 × 16384)
    floor (3630.5)     		ty = 3630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7121 / 3630 ti = "14/7121/3630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7121/3630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7121 ÷ 214
    7121 ÷ 16384     		x = 0.43463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3630 ÷ 214
    3630 ÷ 16384     		y = 0.2215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2215576171875 × 2 - 1) × π
    0.556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74950508853357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41072336} λ = -0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74950508853357))-π/2
    2×atan(5.75175536179897)-π/2
    2×1.39865703056352-π/2
    2.79731406112704-1.57079632675     		φ = 1.22651773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22651773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.274289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7121 KachelY 3630 -0.41072336 1.22651773 -23.532715 70.274289
    Oben rechts KachelX + 1 7122 KachelY 3630 -0.41033986 1.22651773 -23.510742 70.274289
    Unten links KachelX 7121 KachelY + 1 3631 -0.41072336 1.22638827 -23.532715 70.266872
    Unten rechts KachelX + 1 7122 KachelY + 1 3631 -0.41033986 1.22638827 -23.510742 70.266872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22651773-1.22638827) × R
    0.000129460000000137 × 6371000     		dl = 824.789660000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22651773-1.22638827) × R
    0.000129460000000137 × 6371000     		dr = 824.789660000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41072336--0.41033986) × cos(1.22651773) × R
    0.000383499999999981 × 0.337517694456332 × 6371000     		do = 824.649726234683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41072336--0.41033986) × cos(1.22638827) × R
    0.000383499999999981 × 0.337639554809156 × 6371000     		du = 824.947465014741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22651773)-sin(1.22638827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337517694456332-0.337639554809156)×R²
    abs(-0.41033986--0.41072336)×0.000121860352824077×R²
    0.000383499999999981×0.000121860352824077×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121860352824077×40589641000000     		ar = 680285.354205052m²