Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71207 / 95816
↖ ↑ ↗
← S 63.636503°
E 15.575867°		 ← 135.60 m → S 63.636503°
E 15.578613°		 →
↑
135.64 m
↓
↑
135.64 m
↓
S 63.637723°
E 15.575867°		 ← 135.59 m →
18 392 m²		 S 63.637723°
E 15.578613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543270111083984 y=0.731021881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543270111083984 × 217)
    floor (0.543270111083984 × 131072)
    floor (71207.5)     		tx = 71207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731021881103516 × 217)
    floor (0.731021881103516 × 131072)
    floor (95816.5)     		ty = 95816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71207 / 95816 ti = "17/71207/95816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71207/95816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71207 ÷ 217
    71207 ÷ 131072     		x = 0.543266296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95816 ÷ 217
    95816 ÷ 131072     		y = 0.73101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543266296386719 × 2 - 1) × π
    0.0865325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27185016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73101806640625 × 2 - 1) × π
    -0.4620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4515293204953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27185016} λ = 0.27185016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4515293204953))-π/2
    2×atan(0.234211829113824)-π/2
    2×0.230064907301342-π/2
    0.460129814602683-1.57079632675     		φ = -1.11066651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27185016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.575867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11066651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.636503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71207 KachelY 95816 0.27185016 -1.11066651 15.575867 -63.636503
    Oben rechts KachelX + 1 71208 KachelY 95816 0.27189809 -1.11066651 15.578613 -63.636503
    Unten links KachelX 71207 KachelY + 1 95817 0.27185016 -1.11068780 15.575867 -63.637723
    Unten rechts KachelX + 1 71208 KachelY + 1 95817 0.27189809 -1.11068780 15.578613 -63.637723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11066651--1.11068780) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dl = 135.638590000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11066651--1.11068780) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dr = 135.638590000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27185016-0.27189809) × cos(-1.11066651) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.444064425887685 × 6371000     		do = 135.600414539774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27185016-0.27189809) × cos(-1.11068780) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.44404535005652 × 6371000     		du = 135.594589505245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11066651)-sin(-1.11068780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444064425887685-0.44404535005652)×R²
    abs(0.27189809-0.27185016)×1.90758311658379e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90758311658379e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90758311658379e-05×40589641000000     		ar = 18392.253982638m²