Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71201 / 95775
↖ ↑ ↗
← S 63.586453°
E 15.559387°		 ← 135.84 m → S 63.586453°
E 15.562134°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
S 63.587675°
E 15.559387°		 ← 135.83 m →
18 459 m²		 S 63.587675°
E 15.562134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543224334716797 y=0.730709075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543224334716797 × 217)
    floor (0.543224334716797 × 131072)
    floor (71201.5)     		tx = 71201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730709075927734 × 217)
    floor (0.730709075927734 × 131072)
    floor (95775.5)     		ty = 95775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71201 / 95775 ti = "17/71201/95775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71201/95775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71201 ÷ 217
    71201 ÷ 131072     		x = 0.543220520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95775 ÷ 217
    95775 ÷ 131072     		y = 0.730705261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543220520019531 × 2 - 1) × π
    0.0864410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27156254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730705261230469 × 2 - 1) × π
    -0.461410522460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.44956390761088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27156254} λ = 0.27156254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44956390761088))-π/2
    2×atan(0.234672604719279)-π/2
    2×0.230501676678543-π/2
    0.461003353357085-1.57079632675     		φ = -1.10979297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27156254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.559387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10979297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.586453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71201 KachelY 95775 0.27156254 -1.10979297 15.559387 -63.586453
    Oben rechts KachelX + 1 71202 KachelY 95775 0.27161047 -1.10979297 15.562134 -63.586453
    Unten links KachelX 71201 KachelY + 1 95776 0.27156254 -1.10981430 15.559387 -63.587675
    Unten rechts KachelX + 1 71202 KachelY + 1 95776 0.27161047 -1.10981430 15.562134 -63.587675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10979297--1.10981430) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10979297--1.10981430) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27156254-0.27161047) × cos(-1.10979297) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.444846943709866 × 6371000     		do = 135.839365770466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27156254-0.27161047) × cos(-1.10981430) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.444827840319719 × 6371000     		du = 135.833532320471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10979297)-sin(-1.10981430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444846943709866-0.444827840319719)×R²
    abs(0.27161047-0.27156254)×1.91033901474902e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91033901474902e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91033901474902e-05×40589641000000     		ar = 18459.2809804366m²