Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7120 / 9424
↖ ↑ ↗
← N 60.500526°
W101.777344°		 ← 601.55 m → N 60.500526°
W101.766357°		 →
↑
601.61 m
↓
↑
601.61 m
↓
N 60.495115°
W101.777344°		 ← 601.65 m →
361 933 m²		 N 60.495115°
W101.766357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217300415039062 y=0.287612915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217300415039062 × 215)
    floor (0.217300415039062 × 32768)
    floor (7120.5)     		tx = 7120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287612915039062 × 215)
    floor (0.287612915039062 × 32768)
    floor (9424.5)     		ty = 9424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7120 / 9424 ti = "15/7120/9424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7120/9424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7120 ÷ 215
    7120 ÷ 32768     		x = 0.21728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9424 ÷ 215
    9424 ÷ 32768     		y = 0.28759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77634975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28759765625 × 2 - 1) × π
    0.4248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33456328542236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77634975} λ = -1.77634975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33456328542236))-π/2
    2×atan(3.79833679510866)-π/2
    2×1.31336484718801-π/2
    2.62672969437603-1.57079632675     		φ = 1.05593337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77634975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05593337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.500526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7120 KachelY 9424 -1.77634975 1.05593337 -101.777344 60.500526
    Oben rechts KachelX + 1 7121 KachelY 9424 -1.77615800 1.05593337 -101.766357 60.500526
    Unten links KachelX 7120 KachelY + 1 9425 -1.77634975 1.05583894 -101.777344 60.495115
    Unten rechts KachelX + 1 7121 KachelY + 1 9425 -1.77615800 1.05583894 -101.766357 60.495115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05593337-1.05583894) × R
    9.44300000000897e-05 × 6371000     		dl = 601.613530000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05593337-1.05583894) × R
    9.44300000000897e-05 × 6371000     		dr = 601.613530000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77634975--1.77615800) × cos(1.05593337) × R
    0.000191750000000157 × 0.492415576707331 × 6371000     		do = 601.554195817554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77634975--1.77615800) × cos(1.05583894) × R
    0.000191750000000157 × 0.492497762626651 × 6371000     		du = 601.654597362393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05593337)-sin(1.05583894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.492415576707331-0.492497762626651)×R²
    abs(-1.77615800--1.77634975)×8.2185919320299e-05×R²
    0.000191750000000157×8.2185919320299e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.2185919320299e-05×40589641000000     		ar = 361933.344965419m²