Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7120 / 9235
↖ ↑ ↗
← N 78.040381°
W140.888672°		 ← 126.57 m → N 78.040381°
W140.883179°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 78.039242°
W140.888672°		 ← 126.58 m →
16 023 m²		 N 78.039242°
W140.883179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108650207519531 y=0.140922546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108650207519531 × 216)
    floor (0.108650207519531 × 65536)
    floor (7120.5)     		tx = 7120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140922546386719 × 216)
    floor (0.140922546386719 × 65536)
    floor (9235.5)     		ty = 9235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7120 / 9235 ti = "16/7120/9235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7120/9235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7120 ÷ 216
    7120 ÷ 65536     		x = 0.108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9235 ÷ 216
    9235 ÷ 65536     		y = 0.140914916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.78271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45897120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140914916992188 × 2 - 1) × π
    0.718170166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25619811751756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45897120} λ = -2.45897120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25619811751756))-π/2
    2×atan(9.54672455871888)-π/2
    2×1.46642895918314-π/2
    2.93285791836628-1.57079632675     		φ = 1.36206159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45897120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36206159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.040381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7120 KachelY 9235 -2.45897120 1.36206159 -140.888672 78.040381
    Oben rechts KachelX + 1 7121 KachelY 9235 -2.45887533 1.36206159 -140.883179 78.040381
    Unten links KachelX 7120 KachelY + 1 9236 -2.45897120 1.36204172 -140.888672 78.039242
    Unten rechts KachelX + 1 7121 KachelY + 1 9236 -2.45887533 1.36204172 -140.883179 78.039242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36206159-1.36204172) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36206159-1.36204172) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45897120--2.45887533) × cos(1.36206159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207222266785656 × 6371000     		do = 126.568826224353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45897120--2.45887533) × cos(1.36204172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207241705444311 × 6371000     		du = 126.580699119325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36206159)-sin(1.36204172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207222266785656-0.207241705444311)×R²
    abs(-2.45887533--2.45897120)×1.94386586545303e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94386586545303e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94386586545303e-05×40589641000000     		ar = 16023.3232443679m²