Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7120 / 5296
↖ ↑ ↗
← N 53.540308°
W 23.554687°		 ← 1 451.90 m → N 53.540308°
W 23.532715°		 →
↑
1 452.14 m
↓
↑
1 452.14 m
↓
N 53.527248°
W 23.554687°		 ← 1 452.35 m →
2 108 687 m²		 N 53.527248°
W 23.532715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434600830078125 y=0.323272705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434600830078125 × 214)
    floor (0.434600830078125 × 16384)
    floor (7120.5)     		tx = 7120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323272705078125 × 214)
    floor (0.323272705078125 × 16384)
    floor (5296.5)     		ty = 5296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7120 / 5296 ti = "14/7120/5296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7120/5296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7120 ÷ 214
    7120 ÷ 16384     		x = 0.4345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5296 ÷ 214
    5296 ÷ 16384     		y = 0.3232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3232421875 × 2 - 1) × π
    0.353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11060209039746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41110685} λ = -0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11060209039746))-π/2
    2×atan(3.03618590259477)-π/2
    2×1.25262548664378-π/2
    2.50525097328757-1.57079632675     		φ = 0.93445465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93445465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.540308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7120 KachelY 5296 -0.41110685 0.93445465 -23.554687 53.540308
    Oben rechts KachelX + 1 7121 KachelY 5296 -0.41072336 0.93445465 -23.532715 53.540308
    Unten links KachelX 7120 KachelY + 1 5297 -0.41110685 0.93422672 -23.554687 53.527248
    Unten rechts KachelX + 1 7121 KachelY + 1 5297 -0.41072336 0.93422672 -23.532715 53.527248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93445465-0.93422672) × R
    0.000227930000000098 × 6371000     		dl = 1452.14203000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93445465-0.93422672) × R
    0.000227930000000098 × 6371000     		dr = 1452.14203000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41110685--0.41072336) × cos(0.93445465) × R
    0.000383490000000042 × 0.594257126156798 × 6371000     		do = 1451.89779968934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41110685--0.41072336) × cos(0.93422672) × R
    0.000383490000000042 × 0.594440429146774 × 6371000     		du = 1452.3456482655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93445465)-sin(0.93422672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594257126156798-0.594440429146774)×R²
    abs(-0.41072336--0.41110685)×0.000183302989975598×R²
    0.000383490000000042×0.000183302989975598×6371000²
    0.000383490000000042×0.000183302989975598×40589641000000     		ar = 2108686.99719349m²