Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7120 / 1135
↖ ↑ ↗
← N 78.215541°
E132.890625°		 ← 997.97 m → N 78.215541°
E132.934570°		 →
↑
998.34 m
↓
↑
998.34 m
↓
N 78.206563°
E132.890625°		 ← 998.72 m →
996 684 m²		 N 78.206563°
E132.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86920166015625 y=0.13861083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86920166015625 × 213)
    floor (0.86920166015625 × 8192)
    floor (7120.5)     		tx = 7120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13861083984375 × 213)
    floor (0.13861083984375 × 8192)
    floor (1135.5)     		ty = 1135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7120 / 1135 ti = "13/7120/1135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7120/1135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7120 ÷ 213
    7120 ÷ 8192     		x = 0.869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1135 ÷ 213
    1135 ÷ 8192     		y = 0.1385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869140625 × 2 - 1) × π
    0.73828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31937895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1385498046875 × 2 - 1) × π
    0.722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27105855639978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31937895} λ = 2.31937895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27105855639978))-π/2
    2×atan(9.68965243075056)-π/2
    2×1.46795752570248-π/2
    2.93591505140497-1.57079632675     		φ = 1.36511872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31937895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36511872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.215541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7120 KachelY 1135 2.31937895 1.36511872 132.890625 78.215541
    Oben rechts KachelX + 1 7121 KachelY 1135 2.32014594 1.36511872 132.934570 78.215541
    Unten links KachelX 7120 KachelY + 1 1136 2.31937895 1.36496202 132.890625 78.206563
    Unten rechts KachelX + 1 7121 KachelY + 1 1136 2.32014594 1.36496202 132.934570 78.206563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36511872-1.36496202) × R
    0.000156699999999788 × 6371000     		dl = 998.335699998647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36511872-1.36496202) × R
    0.000156699999999788 × 6371000     		dr = 998.335699998647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31937895-2.32014594) × cos(1.36511872) × R
    0.000766990000000245 × 0.204230531495711 × 6371000     		do = 997.971121767244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31937895-2.32014594) × cos(1.36496202) × R
    0.000766990000000245 × 0.204383926193747 × 6371000     		du = 998.720683929919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36511872)-sin(1.36496202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204230531495711-0.204383926193747)×R²
    abs(2.32014594-2.31937895)×0.000153394698036075×R²
    0.000766990000000245×0.000153394698036075×6371000²
    0.000766990000000245×0.000153394698036075×40589641000000     		ar = 996684.357797666m²