Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71194 / 95823
↖ ↑ ↗
← S 63.645040°
E 15.540161°		 ← 135.56 m → S 63.645040°
E 15.542907°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
S 63.646259°
E 15.540161°		 ← 135.55 m →
18 378 m²		 S 63.646259°
E 15.542907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543170928955078 y=0.731075286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543170928955078 × 217)
    floor (0.543170928955078 × 131072)
    floor (71194.5)     		tx = 71194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731075286865234 × 217)
    floor (0.731075286865234 × 131072)
    floor (95823.5)     		ty = 95823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71194 / 95823 ti = "17/71194/95823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71194/95823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71194 ÷ 217
    71194 ÷ 131072     		x = 0.543167114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95823 ÷ 217
    95823 ÷ 131072     		y = 0.731071472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543167114257812 × 2 - 1) × π
    0.086334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27122698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731071472167969 × 2 - 1) × π
    -0.462142944335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.45186487879264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27122698} λ = 0.27122698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45186487879264))-π/2
    2×atan(0.234133250575807)-π/2
    2×0.229990413749738-π/2
    0.459980827499476-1.57079632675     		φ = -1.11081550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27122698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.540161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11081550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.645040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71194 KachelY 95823 0.27122698 -1.11081550 15.540161 -63.645040
    Oben rechts KachelX + 1 71195 KachelY 95823 0.27127491 -1.11081550 15.542907 -63.645040
    Unten links KachelX 71194 KachelY + 1 95824 0.27122698 -1.11083678 15.540161 -63.646259
    Unten rechts KachelX + 1 71195 KachelY + 1 95824 0.27127491 -1.11083678 15.542907 -63.646259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11081550--1.11083678) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dl = 135.574880000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11081550--1.11083678) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dr = 135.574880000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27122698-0.27127491) × cos(-1.11081550) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.443930926685602 × 6371000     		do = 135.559648952423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27122698-0.27127491) × cos(-1.11083678) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.443911858406812 × 6371000     		du = 135.553826224103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11081550)-sin(-1.11083678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443930926685602-0.443911858406812)×R²
    abs(0.27127491-0.27122698)×1.90682787903906e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90682787903906e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90682787903906e-05×40589641000000     		ar = 18378.0884325127m²