Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7119 / 9298
↖ ↑ ↗
← N 61.175033°
W101.788330°		 ← 589 m → N 61.175033°
W101.777344°		 →
↑
589.06 m
↓
↑
589.06 m
↓
N 61.169735°
W101.788330°		 ← 589.09 m →
346 984 m²		 N 61.169735°
W101.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217269897460938 y=0.283767700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217269897460938 × 215)
    floor (0.217269897460938 × 32768)
    floor (7119.5)     		tx = 7119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283767700195312 × 215)
    floor (0.283767700195312 × 32768)
    floor (9298.5)     		ty = 9298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7119 / 9298 ti = "15/7119/9298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7119/9298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7119 ÷ 215
    7119 ÷ 32768     		x = 0.217254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9298 ÷ 215
    9298 ÷ 32768     		y = 0.28375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.56549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77654150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28375244140625 × 2 - 1) × π
    0.4324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.35872348283087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77654150} λ = -1.77654150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35872348283087))-π/2
    2×atan(3.89122291721679)-π/2
    2×1.31925103338509-π/2
    2.63850206677018-1.57079632675     		φ = 1.06770574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77654150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.788330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06770574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.175033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7119 KachelY 9298 -1.77654150 1.06770574 -101.788330 61.175033
    Oben rechts KachelX + 1 7120 KachelY 9298 -1.77634975 1.06770574 -101.777344 61.175033
    Unten links KachelX 7119 KachelY + 1 9299 -1.77654150 1.06761328 -101.788330 61.169735
    Unten rechts KachelX + 1 7120 KachelY + 1 9299 -1.77634975 1.06761328 -101.777344 61.169735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06770574-1.06761328) × R
    9.24600000000719e-05 × 6371000     		dl = 589.062660000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06770574-1.06761328) × R
    9.24600000000719e-05 × 6371000     		dr = 589.062660000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77654150--1.77634975) × cos(1.06770574) × R
    0.000191749999999935 × 0.482135489694599 × 6371000     		do = 588.995638028693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77654150--1.77634975) × cos(1.06761328) × R
    0.000191749999999935 × 0.482216491531444 × 6371000     		du = 589.094593051905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06770574)-sin(1.06761328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.482135489694599-0.482216491531444)×R²
    abs(-1.77634975--1.77654150)×8.10018368445631e-05×R²
    0.000191749999999935×8.10018368445631e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.10018368445631e-05×40589641000000     		ar = 346984.482867608m²