Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7119 / 5074
↖ ↑ ↗
← N 76.955375°
W101.788330°		 ← 275.74 m → N 76.955375°
W101.777344°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 76.952895°
W101.788330°		 ← 275.79 m →
76 038 m²		 N 76.952895°
W101.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217269897460938 y=0.154861450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217269897460938 × 215)
    floor (0.217269897460938 × 32768)
    floor (7119.5)     		tx = 7119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154861450195312 × 215)
    floor (0.154861450195312 × 32768)
    floor (5074.5)     		ty = 5074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7119 / 5074 ti = "15/7119/5074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7119/5074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7119 ÷ 215
    7119 ÷ 32768     		x = 0.217254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5074 ÷ 215
    5074 ÷ 32768     		y = 0.15484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.56549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77654150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15484619140625 × 2 - 1) × π
    0.6903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16866533881134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77654150} λ = -1.77654150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16866533881134))-π/2
    2×atan(8.74660249613855)-π/2
    2×1.45696049942164-π/2
    2.91392099884329-1.57079632675     		φ = 1.34312467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77654150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.788330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34312467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.955375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7119 KachelY 5074 -1.77654150 1.34312467 -101.788330 76.955375
    Oben rechts KachelX + 1 7120 KachelY 5074 -1.77634975 1.34312467 -101.777344 76.955375
    Unten links KachelX 7119 KachelY + 1 5075 -1.77654150 1.34308139 -101.788330 76.952895
    Unten rechts KachelX + 1 7120 KachelY + 1 5075 -1.77634975 1.34308139 -101.777344 76.952895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34312467-1.34308139) × R
    4.32799999998679e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34312467-1.34308139) × R
    4.32799999998679e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77654150--1.77634975) × cos(1.34312467) × R
    0.000191749999999935 × 0.225709878095116 × 6371000     		do = 275.736046193616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77654150--1.77634975) × cos(1.34308139) × R
    0.000191749999999935 × 0.225752041024491 × 6371000     		du = 275.787554083035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34312467)-sin(1.34308139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225709878095116-0.225752041024491)×R²
    abs(-1.77634975--1.77654150)×4.21629293748393e-05×R²
    0.000191749999999935×4.21629293748393e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.21629293748393e-05×40589641000000     		ar = 76037.6984049736m²