Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71178 / 73227
↖ ↑ ↗
← S 20.661056°
E 15.496216°		 ← 285.72 m → S 20.661056°
E 15.498962°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.663626°
E 15.496216°		 ← 285.72 m →
81 641 m²		 S 20.663626°
E 15.498962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543048858642578 y=0.558681488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543048858642578 × 217)
    floor (0.543048858642578 × 131072)
    floor (71178.5)     		tx = 71178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558681488037109 × 217)
    floor (0.558681488037109 × 131072)
    floor (73227.5)     		ty = 73227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71178 / 73227 ti = "17/71178/73227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71178/73227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71178 ÷ 217
    71178 ÷ 131072     		x = 0.543045043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73227 ÷ 217
    73227 ÷ 131072     		y = 0.558677673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543045043945312 × 2 - 1) × π
    0.086090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27045999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558677673339844 × 2 - 1) × π
    -0.117355346679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.368682694977852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27045999} λ = 0.27045999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368682694977852))-π/2
    2×atan(0.691644838016379)-π/2
    2×0.605096435086478-π/2
    1.21019287017296-1.57079632675     		φ = -0.36060346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27045999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.496216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36060346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.661056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71178 KachelY 73227 0.27045999 -0.36060346 15.496216 -20.661056
    Oben rechts KachelX + 1 71179 KachelY 73227 0.27050792 -0.36060346 15.498962 -20.661056
    Unten links KachelX 71178 KachelY + 1 73228 0.27045999 -0.36064831 15.496216 -20.663626
    Unten rechts KachelX + 1 71179 KachelY + 1 73228 0.27050792 -0.36064831 15.498962 -20.663626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36060346--0.36064831) × R
    4.48500000000407e-05 × 6371000     		dl = 285.739350000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36060346--0.36064831) × R
    4.48500000000407e-05 × 6371000     		dr = 285.739350000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27045999-0.27050792) × cos(-0.36060346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935684069872078 × 6371000     		do = 285.722387014975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27045999-0.27050792) × cos(-0.36064831) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935668244104308 × 6371000     		du = 285.717554426402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36060346)-sin(-0.36064831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935684069872078-0.935668244104308)×R²
    abs(0.27050792-0.27045999)×1.58257677704832e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58257677704832e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58257677704832e-05×40589641000000     		ar = 81641.4387294534m²