Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7116 / 5620
↖ ↑ ↗
← N 49.095452°
W 23.642578°		 ← 1 599.82 m → N 49.095452°
W 23.620606°		 →
↑
1 600.08 m
↓
↑
1 600.08 m
↓
N 49.081062°
W 23.642578°		 ← 1 600.28 m →
2 560 204 m²		 N 49.081062°
W 23.620606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434356689453125 y=0.343048095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434356689453125 × 214)
    floor (0.434356689453125 × 16384)
    floor (7116.5)     		tx = 7116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343048095703125 × 214)
    floor (0.343048095703125 × 16384)
    floor (5620.5)     		ty = 5620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7116 / 5620 ti = "14/7116/5620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7116/5620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7116 ÷ 214
    7116 ÷ 16384     		x = 0.434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5620 ÷ 214
    5620 ÷ 16384     		y = 0.343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    0.31396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.986349646582275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41264083} λ = -0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986349646582275))-π/2
    2×atan(2.68142842405504)-π/2
    2×1.21383680738402-π/2
    2.42767361476804-1.57079632675     		φ = 0.85687729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85687729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.095452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7116 KachelY 5620 -0.41264083 0.85687729 -23.642578 49.095452
    Oben rechts KachelX + 1 7117 KachelY 5620 -0.41225734 0.85687729 -23.620606 49.095452
    Unten links KachelX 7116 KachelY + 1 5621 -0.41264083 0.85662614 -23.642578 49.081062
    Unten rechts KachelX + 1 7117 KachelY + 1 5621 -0.41225734 0.85662614 -23.620606 49.081062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85687729-0.85662614) × R
    0.000251149999999978 × 6371000     		dl = 1600.07664999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85687729-0.85662614) × R
    0.000251149999999978 × 6371000     		dr = 1600.07664999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41264083--0.41225734) × cos(0.85687729) × R
    0.000383489999999986 × 0.654800805807568 × 6371000     		do = 1599.81901325291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41264083--0.41225734) × cos(0.85662614) × R
    0.000383489999999986 × 0.654990604700638 × 6371000     		du = 1600.28273271559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85687729)-sin(0.85662614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654800805807568-0.654990604700638)×R²
    abs(-0.41225734--0.41264083)×0.000189798893069471×R²
    0.000383489999999986×0.000189798893069471×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189798893069471×40589641000000     		ar = 2560204.05413125m²