Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7115 / 9193
↖ ↑ ↗
← N 78.088095°
W140.916138°		 ← 126.07 m → N 78.088095°
W140.910645°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
N 78.086961°
W140.916138°		 ← 126.08 m →
15 896 m²		 N 78.086961°
W140.910645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108573913574219 y=0.140281677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108573913574219 × 216)
    floor (0.108573913574219 × 65536)
    floor (7115.5)     		tx = 7115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140281677246094 × 216)
    floor (0.140281677246094 × 65536)
    floor (9193.5)     		ty = 9193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7115 / 9193 ti = "16/7115/9193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7115/9193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7115 ÷ 216
    7115 ÷ 65536     		x = 0.108566284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9193 ÷ 216
    9193 ÷ 65536     		y = 0.140274047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108566284179688 × 2 - 1) × π
    -0.782867431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45945057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140274047851562 × 2 - 1) × π
    0.719451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26022481708565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45945057} λ = -2.45945057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26022481708565))-π/2
    2×atan(9.58524385113821)-π/2
    2×1.4668453493574-π/2
    2.93369069871481-1.57079632675     		φ = 1.36289437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45945057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.916138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36289437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.088095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7115 KachelY 9193 -2.45945057 1.36289437 -140.916138 78.088095
    Oben rechts KachelX + 1 7116 KachelY 9193 -2.45935470 1.36289437 -140.910645 78.088095
    Unten links KachelX 7115 KachelY + 1 9194 -2.45945057 1.36287458 -140.916138 78.086961
    Unten rechts KachelX + 1 7116 KachelY + 1 9194 -2.45935470 1.36287458 -140.910645 78.086961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36289437-1.36287458) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dl = 126.082090000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36289437-1.36287458) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dr = 126.082090000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45945057--2.45935470) × cos(1.36289437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206407491438764 × 6371000     		do = 126.071171407174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45945057--2.45935470) × cos(1.36287458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206426855242853 × 6371000     		du = 126.082998581892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36289437)-sin(1.36287458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206407491438764-0.206426855242853)×R²
    abs(-2.45935470--2.45945057)×1.93638040893174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93638040893174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93638040893174e-05×40589641000000     		ar = 15896.0623778464m²