Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71143 / 62733
↖ ↑ ↗
← N  7.675607°
E 15.400086°		 ← 302.63 m → N  7.675607°
E 15.402832°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
N  7.672886°
E 15.400086°		 ← 302.63 m →
91 582 m²		 N  7.672886°
E 15.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542781829833984 y=0.478618621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542781829833984 × 217)
    floor (0.542781829833984 × 131072)
    floor (71143.5)     		tx = 71143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478618621826172 × 217)
    floor (0.478618621826172 × 131072)
    floor (62733.5)     		ty = 62733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71143 / 62733 ti = "17/71143/62733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71143/62733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71143 ÷ 217
    71143 ÷ 131072     		x = 0.542778015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62733 ÷ 217
    62733 ÷ 131072     		y = 0.478614807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542778015136719 × 2 - 1) × π
    0.0855560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26878220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478614807128906 × 2 - 1) × π
    0.0427703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134367129635017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26878220} λ = 0.26878220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134367129635017))-π/2
    2×atan(1.14381267009826)-π/2
    2×0.852380474706899-π/2
    1.7047609494138-1.57079632675     		φ = 0.13396462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26878220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.400086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13396462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.675607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71143 KachelY 62733 0.26878220 0.13396462 15.400086 7.675607
    Oben rechts KachelX + 1 71144 KachelY 62733 0.26883013 0.13396462 15.402832 7.675607
    Unten links KachelX 71143 KachelY + 1 62734 0.26878220 0.13391712 15.400086 7.672886
    Unten rechts KachelX + 1 71144 KachelY + 1 62734 0.26883013 0.13391712 15.402832 7.672886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13396462-0.13391712) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dl = 302.622500000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13396462-0.13391712) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dr = 302.622500000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26878220-0.26883013) × cos(0.13396462) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.991040152166976 × 6371000     		do = 302.626032677051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26878220-0.26883013) × cos(0.13391712) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.991046495352239 × 6371000     		du = 302.62796964498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13396462)-sin(0.13391712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991040152166976-0.991046495352239)×R²
    abs(0.26883013-0.26878220)×6.34318526282485e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.34318526282485e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.34318526282485e-06×40589641000000     		ar = 91581.7396760812m²