Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71142 / 62715
↖ ↑ ↗
← N  7.724600°
E 15.397339°		 ← 302.65 m → N  7.724600°
E 15.400086°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
N  7.721878°
E 15.397339°		 ← 302.66 m →
91 610 m²		 N  7.721878°
E 15.400086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542774200439453 y=0.478481292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542774200439453 × 217)
    floor (0.542774200439453 × 131072)
    floor (71142.5)     		tx = 71142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478481292724609 × 217)
    floor (0.478481292724609 × 131072)
    floor (62715.5)     		ty = 62715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71142 / 62715 ti = "17/71142/62715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71142/62715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71142 ÷ 217
    71142 ÷ 131072     		x = 0.542770385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62715 ÷ 217
    62715 ÷ 131072     		y = 0.478477478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542770385742188 × 2 - 1) × π
    0.085540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26873426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478477478027344 × 2 - 1) × π
    0.0430450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.135229993828178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26873426} λ = 0.26873426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.135229993828178))-π/2
    2×atan(1.14480005102153)-π/2
    2×0.852808016548179-π/2
    1.70561603309636-1.57079632675     		φ = 0.13481971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26873426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.397339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13481971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.724600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71142 KachelY 62715 0.26873426 0.13481971 15.397339 7.724600
    Oben rechts KachelX + 1 71143 KachelY 62715 0.26878220 0.13481971 15.400086 7.724600
    Unten links KachelX 71142 KachelY + 1 62716 0.26873426 0.13477220 15.397339 7.721878
    Unten rechts KachelX + 1 71143 KachelY + 1 62716 0.26878220 0.13477220 15.400086 7.721878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13481971-0.13477220) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13481971-0.13477220) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26873426-0.26878220) × cos(0.13481971) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99092558038722 × 6371000     		do = 302.654178674848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26873426-0.26878220) × cos(0.13477220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990931965166788 × 6371000     		du = 302.656128750873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13481971)-sin(0.13477220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99092558038722-0.990931965166788)×R²
    abs(0.26878220-0.26873426)×6.38477956849126e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.38477956849126e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.38477956849126e-06×40589641000000     		ar = 91609.5414315284m²