Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7114 / 9262
↖ ↑ ↗
← N 78.009608°
W140.921631°		 ← 126.90 m → N 78.009608°
W140.916138°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
N 78.008466°
W140.921631°		 ← 126.91 m →
16 106 m²		 N 78.008466°
W140.916138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108558654785156 y=0.141334533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108558654785156 × 216)
    floor (0.108558654785156 × 65536)
    floor (7114.5)     		tx = 7114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141334533691406 × 216)
    floor (0.141334533691406 × 65536)
    floor (9262.5)     		ty = 9262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7114 / 9262 ti = "16/7114/9262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7114/9262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7114 ÷ 216
    7114 ÷ 65536     		x = 0.108551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9262 ÷ 216
    9262 ÷ 65536     		y = 0.141326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108551025390625 × 2 - 1) × π
    -0.78289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45954645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141326904296875 × 2 - 1) × π
    0.71734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25360952493808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45954645} λ = -2.45954645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25360952493808))-π/2
    2×atan(9.52204393618766)-π/2
    2×1.46616041229583-π/2
    2.93232082459167-1.57079632675     		φ = 1.36152450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45954645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.921631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36152450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.009608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7114 KachelY 9262 -2.45954645 1.36152450 -140.921631 78.009608
    Oben rechts KachelX + 1 7115 KachelY 9262 -2.45945057 1.36152450 -140.916138 78.009608
    Unten links KachelX 7114 KachelY + 1 9263 -2.45954645 1.36150458 -140.921631 78.008466
    Unten rechts KachelX + 1 7115 KachelY + 1 9263 -2.45945057 1.36150458 -140.916138 78.008466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36152450-1.36150458) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36152450-1.36150458) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45954645--2.45945057) × cos(1.36152450) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20774766873668 × 6371000     		do = 126.902970914267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45954645--2.45945057) × cos(1.36150458) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207767154089871 × 6371000     		du = 126.914873571103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36152450)-sin(1.36150458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20774766873668-0.207767154089871)×R²
    abs(-2.45945057--2.45954645)×1.94853531914341e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94853531914341e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94853531914341e-05×40589641000000     		ar = 16106.0519331618m²